构建基本模型解决中学锐角三角函数的实际问题

锐角三角函数是中学数学知识体系的重要构成部分，也是学生学习的重、难点。学生在解决锐角三角函数的实际问题时，总是出现这样或那样的错误。虽然学生通过学习锐角三角函数的概念，有了一定的知识基础，但在具体的实际问题中如何构建直角三角形，并根据已知条件选择恰当的锐角三角函数，还是有一些困难的，易混淆，也易出错[1]。

利用锐角三角函数和勾股定理的知识综合解决实际生活中的问题，可以提高学生分析问题、解决问题的能力，还可以通过这样的方式，将数形结合的数学思想方法传递给学生。

下面列举三个基本模型，以帮助学生解决锐角三角函数在实际生活中的应用问题。

一、构建一个直角三角形模型

根据题意构建含已知角的直角三角形，把题目中的已知和未知有效地沟通起来。

例1如图1，某公园人口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm，为方便残疾人通行，现将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度为1/5。求AC的长度。

点评：这道题是考查解锐角三角函数的实际应用即坡度问题，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用。通过辅助线（作高线）的作法，构建出直角三角形，从而问题得以解决。

二、构建“直角三角形十矩形”模型

如果梯形的内角中有已知角时，一般过较短的底边作梯形的高，可构建出含已知角的直角三角形和矩形。

例2 如图2所示，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6m的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB为1.5 m，求拉线CE的长（结果保留根号）。

点评：这道题是考查解锐角三角函数的实际应用即仰角俯角问题，注意掌握仰角、俯角的定义，注意数形结合思想的应用。通过辅助线的作法，构建出含已知角的直角三角形和矩形，从而问题得以解决。

三、构建“有公共高的双直角三角形”模型

如果三角形中，已知两个角和夹边求高，以及求其他的边长的问题，一般通过作高线，可构建出含有公共高的双直角三角形模型，利用方程的思想方法解决问题。以下两个模型的最后结果，还可以作为公式加以应用，在解决填空题、选择题时，可直接代用公式计算得出答案。

如图3所示，已知△ABC中，BC=a，∠ABC=a，∠ACD=β，求△ABC的高AD。

例3如图5所示，某数学兴趣小组为测量教学楼CD的高，先在A处用高为1.5 m的测角仪测得教学楼顶端D的仰角∠DEG为30°，再向前走20 m到达B处，又测得教学楼顶端D的仰角∠DFG为60°，A，B，C三点在同一水平线上，求教学楼CD的高（结果保留根号）。

点评：这道题考查了锐角三角函数的实际应用，属于典型的有公共高的双直角三角形（模型2）的应用，可用模型2的方法解决问题。但由于此题的角度的特殊性，可把已知条件EF的长度转化到DF，从而把问题放在Rt△DFG中，根据锐角三角函数即可求出DG，从而求出教学楼CD的高。显然这个方法要比模型2的方法简单得多。

总之，在解决锐角三角函数的实际应用题时，应把握好锐角三角函数的定义，通过作辅助线，构建出直角三角形，善于识别以上三个基本模型，反复训练，并灵活地加以应用。但我们解题的时候，也不要盲目地套用模型，注意观察条件，找到更好的解决方法。

参考文献：

[1]周晓凤.锐角三角函数的类型及应用[J].数学大世界（中旬），2019（5）.

作者单位：云南省昆明市实验中学