浅谈铅垂高法在函数中的应用

摘要：在复习一次函数、反比例函数、二次函数的过程中，笔者发现有一种方法贯穿其中，它不仅在选择题或填空题中可以快速地判断是不是函数及自变量的取值范围，还可以有效地解决一次函数的行程问题，以及反比例函数和二次函数中不规则的三角形面积问题，这个方法就是铅垂高法。

关键词：函数;一次函数;反比例函数;二次函数;三角形面积;铅垂高法

在复习函数相关知识的过程中，笔者发现反比例函数和二次函数的综合题里多数要求三角形的面积，而且是三边都不与坐标轴平行的三角形面积，一般会采用割补法来求解，但有时采用铅垂高法会更加方便，并且这种方法也适合解决其他函数问题。现总结如下，以供读者参考。

一、铅垂高定理

在数学三角形的概念中是指三角形的一个顶点沿垂直向下画一条线交于对应的一条边的长度（另外两个顶点在水平线上的宽称为水平宽，有别于边长），铅垂高乘以水平宽的一半即为三角形的面积。

如图1所示，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）。S△ABC=1/2ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

（1）①直接写出点B的坐标;②求抛物线的解析式。

（2）若P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC，求△PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标。

分析：（2）根据三角形的面积公式，可知△APC的面积无法直接通过底和高算出。若我们过点P作z轴的垂线与直线AC交于点F，则△APC被分成了△APF和△CPF两部分，所以我们只要算出了这两个三角形的面积，则△APC的面积就得到了。要计算两个小三角形的面积，就都可以用PF作为底边，而它们的高可以通过点A和点C的横坐标得到。关键在于计算PF的值，垂直于x轴的线段的长度等于两端点中的较大纵坐标减去较小纵坐标。

三、迁移应用

“铅垂高”的知识不仅可以用在这类问题中，在判断是不是函数、自变量的取值范围及一次函数的行程问题中，也可以类比进行应用，同样可以达到化繁为简的目的。

1.下列曲线中表示的是函数的是（

）。

点拨：这两道题目不利用“铅垂高”知识进行求解完全可以解决，如果会利用“铅垂高”的知识求解，则更为直观明了。

四、结束语

通过上面这些例子不难看出，铅垂高法可以把所学知识丰富联系起来，帮助学生理解数学，所以说此方法是我们认识问题和解决问题的一个重要工具。在数学中通过一些典型例题的反思和拓展，可以优化学生的数学思维，开拓学生的解题思路，提高其分析问题和解决问题的能力。

参考文献：

[1]邓文忠.怎样确定斜三角形面积计算中的水平宽、铅垂高[J].数理化学习（初中版），2015.

[2]杨路，铅垂高在函数问题中的应用价值[Jl.中小学数学，2016.

作者单位：广东省惠州市惠阳区永湖镇永湖中学