解析数学期望两考点

离散型随机变量的数学期望的求法是每年各省高考题考查概率统计必考的一个内容，所以熟悉其题型、摸透其考查方式是很有必要的。

考点一、基本题型——确定随机变量分布列不设防

求离散型随机变量的数学期望的关键是确定随机变量的分布列，如果随机变量取值时所对应的概率值较容易求出，则这种题属于较容易的题型。

例1“过桥米线”是云南人民一种非常喜爱的餐饮食品，在云南某地区“过桥米线”分为A，B，C，D，E五种品牌的店，其中A品牌店40家，B品牌店30家，C品牌店25家，D品牌店5家。

（1）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定对这100家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有20家，则B，C品牌店各应抽取多少家？

（2）为了使经营更丰富，更具吸引力，所有40家A品牌店举办优惠活动：在一个盒中装有形状、大小相同的4个白球与6个红球。顾客可以一次性从盒中抽取3个球，若3个球均为红色则打五折，2红球1白球则打八折，1红球2白球则打九折，其余情况没有折扣。设所抽取的红球的个数为X，求X的数学期望。

考点二、与统计知识相结合——侧重随机变量概率值的求法

许多考查数学期望的主观综合题，其背景往往不是单纯求概率值套公式得出数学期望值，而是以其他知识为背景，通过知识交汇的形式来考查求解数学期望，而这些交汇知识最多的是统计知识，比如频率分布直方图、线性回归及正态分布等。

例2某高中学校为了解高二学生数学的学业水平达标情况，对全体高二学生进行了一次模拟考试，成绩出来后进行了分析，测试成绩X服从正态分布N（70，σ2）（满分为100分），且P（X<60）=0.1，P（X≥90）=0.04，现从高二学生中随机抽取3人。

（1）若事件A=“抽取的3位同学的数学成绩在区间[70，80），[80，90），[90，100]内各有1位”，求P （A）。

（2）若抽到的3位同学数学成绩在区间[60，80]内的人数为ξ，求随机变量∈的分布列和数学期望。

解析：（1）由题知，P（70≤X<80）=1/2一P （X<60） =0.4，而P（X≥90）=0.04，所以P（80≤X<90） =0.1 0.04一0.06，所以P （A）=A3×0.4×0.06×0.04=0.005 76.

（2）因为P（60≤X≤80） =1- 2P （X<60）=0.2，所以ξ服从二项分布B（3，0.2），且ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）=0.8³=0.512，P（ξ=1）=3×0.2×0.8²=0. 384，P（ξ=2）=3×0.2²×0.8=0.096，P（ξ=3）=0.2³ =0.008，所以ξ的分布列如表1所示，ξ的数学期望为E（ξ）=3×0.2=0.6。

总之，统计知识与概率的交汇为目前高考考查概率主观题型的热点，所以同学们在平时的训练与学习中，要侧重于统计知识与概率的交汇题型。

作者单位：河北省青县第一中学