函数、方程、不等式密不可分

函数、方程、不等式三者之间关系密切，可以相互转化。方程f（x）=0的实根就是函数y =f（c）的零点，也是函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标，不等式f（x）>0（或f（x）<0）的解集是函数y=f（x）的图像位于x轴上方（或下方）时的自变量x的取值集合。

一、方程与函数

例1求方程log2（x+4）=5x的实根个数。

解析：令f（x）=|log2（x+4） | ，g（x）=5x，在同一个平面直角坐标系中分别作出两个函数的图像，如图1所示。

法一：描点作图法（过程略），见图l。

法二：图像变换法。先作出y=1og2x的图像，然后将y=log2x的图像向左平移四个单位得到y =log2 （x +4）的图像，最后保留y=log2 （x+4）在z轴上方的图像，将z轴下方的图像翻折到x轴的上方（即关于z轴对称），就得到f（x）=|log2（x+4）的图像。作图时，注意渐近线问题，即图像无限接近于x=一4。由图像可以看出函数f（x）=log2（x+4）与g（x）=5x的图像有三个交点，所以方程log2（x+4） =5x有三个实数根。

点评：此题无法直接求出方程的实根，但我们可以将方程f（x）=g（x）的实根个数问题转化成两个函数y=f（x）和y=g（x）的图像交点个数问题。

二、不等式与函数