在高中数学问题的解决过程中,有必要围绕问题建立完整的解决路径,以确保数学问题与解决对策达到有效的对应,并提高解决问题的准确性。
1.建立具体的函数模型,提高函数知识点的接受效率。在实际的中学数学学习过程中,我们不难发现教师讲授的功能知识点是非常抽象的,这也是引起学生学习困难的主要因素之一。为了有效解决这一问题,教师需要在高中数学课堂中,为原始的抽象功能知识建立特定的功能模型。这样,可以大大降低学生的学习难度,提高学生的学习效率。
例如,在学习“二次函数”这一部分相关知识点的时候,为了提高学生的数学知识接受效率,可以先确定具体的二次函数模型,用数学语言表达即为f(x) =ax2+ bx +e(a≠0)。再帮助学生进一步掌握二次函数的相关性质,可以将其所包含的知识同样用数学语言表示出来,如二次函数f(x)的对称轴为-b/2a;二次方程根与系数的关系,即两根之和x1+x2=-b/a,两根之积x1x2=c/a等。把这
些原本学生难以理解与掌握的数学函数知识点通过函数建模的方式清晰地展现出来,以帮助学生更好地学习。
2.和谐化、直观化原则在不等式最值问题中的应用。和谐原则是指转换问题的表达方式,将条件和问题联系在一起并以符合数学内部逻辑的形式表达它们。在改善或验证方程式或方程式的最大值时,可以先分析现有条件,使用已知方程式构造能形成的方程式和数学关系。然后将问题的条件转换为方程式,结合数字、形状和公式来解决问题。
例如,已知函数f(x)=cos x+cos 2x,求f(x)的最大值和最小值。先将三角函数与二次函数挂钩,通过三角函数公式的转化,把f(x)=COS x+ cos 2x转化成cos x+2 cos2x-1;再将cosx用t来表示,从而得出f(t)=2t2+t1这样的函数;最后通过画图得出函数的最大值和最小值。
3.整体代换,化繁为简。整体代换是高中整体数学思想的一个重要组成部分,主要是根据新元性质,对整体计算公式进行代换,从而将原来计算比较复杂的公式变得更加简单,更加清晰并富有条理,以保证学生能够更加轻松自如地运算。
例如,在计算(a1 +a2+…+an-1)(a2+a3+…+an-1+an) - (a2 +a3+-+an-1).(a1+a2 +-+an-1+an)这个多项式的过程中,如果按照题目的要求进行逐一计算分解,那么整个求解过程十分复杂,并且计算量十分大。如果将这个多项式进行变形.采用整体代换的数学思想,则可以轻松地将这个题目解决。在计算过程中我们假设a2 +a3 +-+an-1为未知数值X,则原来的数值可以表示为(a1+X).(X+an)-X(a1 +X+an),通过对该算式进行进一步的简化分解,可以得到X2 +a1X+anX+a1an— a1X — X2— anX,从而就能得到最终的计算结果为a1an。
4.换元法在高中数学解题中的应用。换元法也是数学思维的一种常用方法,使用此方法解决问题,可以大大简化解决问题的步骤,并找到问题中的隐藏内容。
例如,已知a、b均大于2,试证明:ab>a+b。在分析题目的过程中,我们可以看出题目中给出的有效条件极少,直接证明的难度较大。我们可以先对不等式进行变形,即将ab>a+b转化为ab- (a+b)>0。然后进一步换元,用m、n代替a、6进行分析证明。由于a、6均大于2,那么可以设a为m+2,b为n+2,m、n均大于0。此时ab- (a+b)=(n+2).(m+2) (m+2+n+2)=mn+n+m>0,因为m、n均大于0,所以该不等式成立,所以原不等式ab>a +b也同样成立。
作者单位:江西省鄱阳中学