Buck-Boost变换器断续模式下的分数阶建模与分析

胡旭旭　范秋华

摘  要： 在对Buck?Boost变换器运行于电感电流断续模式下的工作特性进行精确分析时，考虑到实际电感和实际电容本质上是分数阶的事实，建立该模式下变换器的分数阶数学仿真模型并进行研究。首先，根据分数阶微积分理论推导出变换器的分数阶状态空间模型以及传递函数;然后，基于改进的Oustaloup分数阶微积分滤波器近似算法封装分数阶积分模块，并在此模块基础上构建变换器的分数阶数学仿真模型;最后，在Matlab/Simulink环境下，进行数值仿真。仿真结果表明，相较于整数阶模型，分数阶数学仿真模型能够更加精确地描述Buck?Boost变换器运行于电感电流断续模式下的工作特性。

关键词： 分数阶微积分; 分数阶建模; Buck?Boost变换器; 断续模式; 数值仿真; 对照分析

中图分类号： TN710.9?34                           文献标识码： A                      文章編号： 1004?373X（2020）24?0126?05

Fractional?order modeling and analysis of Buck?Boost converter in

disdiscontinuous conduction mode

HU Xuxu， FAN Qiuhua

（College of Electrical Engineering， Qingdao University， Qingdao 266003， China）

Abstract： The fractional?order mathematical simulation model of Buck?Boost converter in the discontinuous conduction mode is proposed and researched based on the facts that the actual inductance and capacitance are essentially fractional?order to accurately analyze the operating characteristic. The fractional?order state space model and transfer function of the converter are derived based on the fractional?order calculus theory， and then the fractional?order integral module is encapsulated by means of the approximation algorithm based on the improved Oustaloup fractional calculus filter， on which the fractional?order mathematical simulation model of the converter is built. The numerical simulation is carried out on the Matlab / Simulink. The simulation results show that， in comparison with the integer model， the fractional?order mathematical simulation model can describe the operating characteristics of Buck?Boost converter in the discontinuous conduction mode more accurately.

Keywords： fractional calculus; fractional?order modeling; Buck?Boost converter; discontinuous conduction mode; numerical simulation; contrast analysis

0  引  言

分数阶最早是作为研究半阶的衍生工具被提出。1823年，阿贝尔首次应用了分数阶微积分[1]。分数阶微积分主要是作为研究任意阶数的微积分而存在，其以往的整数阶微积分仅为分数阶的一个特例。由于缺乏对微积分方程离散化问题的求解方法和实际工程应用对其研究背景的支撑，早期针对分数阶的研究主要集中在数学领域，进行纯理论研究。随着计算机软件、硬件以及各种离散化算法的快速发展和自动化控制领域对控制需求的迅速增加，尤其是20世纪80年代以来对线性和非线性离散化问题的研究，使针对分数阶的微积分有了更多离散化求解方法。从一些实际例子中可得知，只要动态系统具有分布参数，就可以使用分数阶控制[2]。此外，微分器或积分器中所具有的分数阶性质，也使得许多实际系统中建立的分数阶数学模型相较于整数阶数学模型更为精确，更能准确地反映系统的本质[3]。对实际电容、电感进行的大量理论研究和实验结果都表明，实际的电容、电感在本质上都具有分数阶性质[4]。

作为开关功率变换器中不可或缺的电路元件，电感和电容一直是研究重点。但是，长期以来，在针对DC/DC变换器工作特性的研究过程中，所采用的离散建模法和状态平均建模法[5]，均普遍建立在实际的电感、电容是整数阶的基础上，其结果仅能粗略描述变换器的工作特性。因此，建立相应的分数阶数学仿真模型，是当前针对DC/DC变换器工作特性精确化分析的热门方法。尽管有些学者做过分数阶微积分建模方面的研究，但所做的研究还不能够完全推广到所有DC/DC变换器，一些理论还需进一步完善。国内现有针对Buck?Boost变换器的分数阶研究中，文献[6]和文献[7]分别推导了连续导通模式和伪连续导通模式下的分数阶状态空间平均模型及与输入输出相关的各类传递函数，建立了基于分数阶的数学仿真模型。但由DC/DC变换器断续模式下运行模态的变化，使得文献[6]和文献[7]中所推导的状态空间模型和各类传递函数以及所建立的数学仿真模型均不能直接使用。同时由DC/DC变换器断续模式下运行模态的增加可得，电感电流断续模式下的Buck?Boost变换器应具有更加复杂的电路拓扑和更为独特的运行状态。

根据图3a）的电感电流波形图，可明显判断出Buck?Boost变换器运行在电感电流断续模式下。同时测量出[ΔiL]=3.127 6 A，[iLmax]=3.127 6 A，[D2]=0.1。根据图3b）可测量出[v0]位于78.18～78.21 V之间。与此同时根据式（18）和式（17）可分别计算出[ΔiL]=[iLmax]=3.127 7 A，[D2]=0.101 2，[V0]=78.192 1 V。可见，分数阶数学模型的数值仿真结果与理论计算结果保持基本一致，从而验证了本文对分数阶Buck?Boost变换器理论分析和建模的正确性。取[α=1]，[β=1]时，此时的分数阶积分模块的功能与整数阶积分模块的功能一致，因此，可直接采用整数阶积分模块来描述DCM Buck?Boost变换器，整数阶的DCM Buck?Boost变换器的仿真模型如图4所示。

同样根据文献[12]中用于判断Buck?Boost变换器电感电流连续与否的临界条件，整数阶临界负载电阻为R=138.888 9 Ω。当保持取R=500 Ω不变时，Buck?Boost变换器仍可稳定运行于电感电流断续模式。当变换器运行达到稳态后，电感电流[iL]波形和输出电压[v0]波形见图5a）和图5b）。

根据图5a）可测量出[ΔiL]=0.320 5 A，[iLmax]=0.320 5 A，[D2]=0.316 0。同时根据图5b）也可测量出[v0]在25.28～25.31 V之间。而根据式（17）分别计算出[V0]=25.298 0 V，[D2]=0.316 2;根据式（18）计算出[ΔiL]=[iLmax]=0.320 0 A。可见，整数阶模型的数值仿真结果与理论计算结果保持基本一致，从而进一步说明了本文DCM Buck?Boost变换器分数阶的理论分析和建模的正确性。不同阶次时的输出参数见表1。

通過对以上结论分析可得，当[α=1]，[β=1]时，对比得到的结果与[α]=0.8，[β]=0.8时得到的结果，[ΔiL]，[D2]以及[V0]都有了明显的变化。特别是，通过对图3a）和图5a）以及表1中D2的分析可发现，分数阶电感电流的断续时间[（1-d1-d2）Τ]随着实际电感分数阶阶数的减小，会出现明显的增大。而对于输出电压，虽然根据图3b）、图5b）可发现输出电压并没有出现较大的纹波，但根据表1中的输出参数可以发现，输出电压的幅值随着分数阶阶数的减小，出现了明显的增加。这就表明：对于本应使用分数阶模型（[α<1]，[β<1]）进行仿真分析的DCM Buck?Boost变换器，如果继续使用整数阶模型（[α]=1，[β]=1）进行仿真分析，不仅在[ΔiL]，[D2]以及[V0]等方面出现明显的误差，甚至可能得出错误的结论。可见，为能够精确的描述Buck?Boost变换器运行于断续模式下的工作特性，必须要在实际的电感、电容是分数阶的基础上，建立分数阶形式的数学仿真模型。

4  结  语

本文根据实际的电感、电容在本质上是分数阶的事实，建立了Buck?Boost变换器运行于断续模式下的分数阶数学仿真模型，并对其工作特性进行精确分析。通过对其理论分析和仿真结果的对比可知，在实际的电感、电容均具有分数阶性质的基础上，若将继续采用以往的整数阶建模法来粗略近似地描述DC/DC变换器的工作特性，将会造成较大误差。此外，由于DC/DC变换器在断续模式下所具有的运行模态可知，连续模态下的仿真模型不能直接应用到断续模态。因此，若要对Buck?Boost变换器运行于断续模态下的工作特性进行精确分析，应直接建立断续模式下的分数阶模型。本文建立的DCM Buck?Boost变换器分数阶模型，仍然还存在电感电流纹波较大、带负载能力较弱等实际问题。

参考文献

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[12] 裴文.DC?DC开关变换器建模、仿真与补偿网络设计研究[D].合肥：安徽大学，2014.

作者简介：胡旭旭（1993—），男，山东济宁人，硕士研究生，研究方向为非线性控制系统。

范秋华（1971—），女，河北邢台人，硕士，副教授，研究方向为储能元件与系统、非线性电路与系统。