基于数据包丢失和时延的基因调控网络的网络化H∞滤波

王 佳

(福州大学数学与计算机科学学院, 福建 福州 350108)

0 引言

有鉴于此，本研究对网络环境下的基因调控网络滤波问题进行分析，考虑网络延时和丢包对滤波问题的影响，建立滤波误差随机系统模型，提出误差系统稳定及满足性能的条件，给出滤波器的设计方法.

1 问题描述

考虑如下的基因调控网络模型

(1)

其中:m(t)=[m1(t)，m2(t)，…，mn(t)]，p(t)=[p1(t)，p2(t)，…，pn(t)]，A=diag(a1，a2，…，an)，C=diag(c1，c2，…，cn)，D=diag(d1，d2，…，dn)，EM=[eM1，eM2，…，eMn]T，EP=[eP1，eP2，…，ePn]T，l=[l1，l2，…，ln]T，g(t)=[g1(t)，g2(t)，…，gn(t)]T. 这里，mi(t)和pi(t)代表在t时刻基因mRNA及其蛋白浓度；ai和ci分别是mRNA和蛋白质的降解率；di表示翻译率；gj(·)是一个非线性函数；B是遗传网络的耦合矩阵，定义为：如果转录因子j是基因i的激活因子，则bij=aij，如果j和i之间不存在连接，则bij=0； 如果转录因子j是基因i的抑制因子，则bij=-aij，其中aij表示转录因子j对基因i的转录率;li是一个基本速率；v(t)代表外部干扰；eMi(t)和ePi(t)分别表示mRNA和蛋白质的外部干扰. 将系统平衡点移动到原点，考虑基因调节过程中内外扰动，则基因调控网络模型可以转化为下式：

(2)

(3)

2 模型建立

本研究的目的是设计滤波器，基于测量信号去估计实际的mRNA和蛋白质的状态. 图1中，滤波器和基因调控网络处于不同的地理位置，通过通信网络传输信号. 在这种情况下，滤波器的输入不再等于系统的测量输出，所以现有的基因调控网络的滤波理论不再适用.

图1 基因调控网络的H∞滤波框架Fig.1 The diagram of H∞ filtering for a GRN

如图1所示，测量信号y(t)首先在离散时刻sh进行采样，其中h>0是采样周期. 由于网络带宽有限及拥塞等因素，采样的数据包传输给滤波器的时候不可避免存在传输延迟ts，并满足tm≤ts≤tM，其中tm和tM分别是时滞的上下界. 在该传输机制中，不可避免地出现数据包的丢失，y(tkh)表示成功传输的数据包，起对应的传输时滞为τtk. 零阶保持器被用来维持数据包的传输秩序，tkh+τtk

(4)

国内也有一些研究：刘诚等（2012）从老乡、校友、共同工作经历衡量独立董事和 CEO 的社会关系，并发现这些关系与董事会的独立性正相关；陆瑶等（2016）重点考察了独立董事与CEO之间的老乡关系对公司违规的影响；李维安等（2017）从董事会成员与CEO之间的老乡、工作、校友关系、年龄和性别相似度度量董事会的社会独立性，发现董事会社会独立性越高，违规公司的CEO越容易发生变更。

设计如下形式的全阶滤波器：

(5)

其中:Af，Bf，Cf为需求解的滤波器系数矩阵. 定义增广变量为：ξ(t)=col{x(t)，xf(t)}，e(t)=z(t)-zf(t). 根据基因调控网络(3)和式(5)得到滤波误差系统为：

(6)

本研究的设计目标是针对基因调控网络(3)来设计滤波器(5)，使得在数据丢包和网络延迟的情况下，滤波误差系统(6)满足如下性能：1)当无外界干扰v(t)=0时，误差系统渐进稳定； 2)在零初始条件下，满足H∞性能指标，即eT(t)e(t)<γ2vT(t)v(t).

3 主要结果

基于Lyapunob-Krasovskii泛函方法，并由文献[11]中的引理1～2，滤波误差系统满足渐进稳定和H∞性能指标的条件. 首先，选取的Lyapunob-Krasovskii函数为：

基于定理1，如下定理给出滤波误差系统渐进稳定且满足H∞性能指标的滤波器的设计方法.

4 仿真示例

本研究的基因调控网络具有如下参数：

图2～3分别绘制了在设计的H∞滤波器下，实际的mRNA、 蛋白质浓度轨迹及其对应的估计值. 由图2～3可知，基于所设计的滤波器，输出函数可以很好地估计mRNA和蛋白质的浓度. 图4给出了误差精度的变化曲线. 上述结果显示，本研究所设计的滤波器可以有效估计基因调控网络的输出状态.

图2 mRNA浓度及其估计值Fig.2 mRNA conc. and estimates

图3 蛋白质浓度及其估计值Fig.3 Protein conc. and estimates

图4 H∞滤波器下的误差精度Fig.4 Estimation under the H∞ filter

5 结语

本研究分析了网络丢包和数据传输延时影响下，基因调控网络的H∞滤波问题. 首先建立了网络环境下的基因调控网络的滤波系统模型. 基于这种模型，给出了滤波误差系统渐进稳定并满足H∞性能指标的充分条件及滤波器的设计方法. 仿真示例验证了该方法的可行性.