噪声和音乐的分形维数

刘娟娟，李世昌，赵 岩 ，雷 洪

（1.东北大学 材料电磁过程研究教育部重点实验室，辽宁 沈阳 110819；2.东北大学 冶金学院，辽宁 沈阳 110819）

为了追求更高品质的生活，人们对声环境要求也越来越高。校园的声污染也逐渐得到了师生的重视［1-2］。一般强度的噪音会影响人的注意力，降低工作效率；高强度的噪音会干扰语言交流，引起损伤听觉，诱发多种疾病［3］。对于声音的评估有主观评估和客观参数评估两种方法［4-7］。主观评估是通过人的听觉感知声音的音程、力度、音调和节奏等来分析声音的特点，此方法的参与人员多，评价过程复杂，工作量大。客观参数法是采集声音的时域信号，根据声音的频率、声压级、谱密度、分形维数等来分析声音的特点，此方法需要专用的声音采集设备，结果的重现性好。

减轻噪音污染的第一步是准确地识别噪音和音乐，而分形理论则给出了一种有效的声音客观参数识别方法。20世纪70年代，Voss等首先给出了谱密度与声音频率倒数之间的函数关系［8］，之后，盒维数、信息维数、关联维数和广义维数等分形概念被用于分析音乐的分形结构［9-10］。本文采用Python语言开发了声音软件SOUND 1.0，利用此软件的采样模块对音乐和噪音进行采样，通过分析模块进行频谱分析、1/1倍频程分析和总声级分析声音信号特点，通过分形理论计算声音信号的分形维数，定量地刻画声音信号不规则程度。

1 声音的采集及处理

声音是一个连续信号，是时间的连续函数。软件Sound 1.0利用麦克风和声卡将环境中连续的声音信号转换为采样频率441 kHz的离散数值信号，采样时间为10 s，声压数据保存在电脑硬盘中。

1.1 A计权声压级

本文将收集到的声压级数据转化为A计权声压级数据［4］。第i个1/1倍频程的中心频率声压级Li的计算式为

A计权总声压级L′可表示为

式中：pref是参考声压，2×10-5Pa；m是第i个中心频率最大值与最小值之间的频率数量；n是中心频率的数量；pij是第i个中心频率最大值与最小值之间的第 j个频率下的声压，Pa；Ai是频率响应的计权。

1.2 傅里叶级数

描述声波的主要参数有振幅、频率和相位。为了得到这些参数，引入傅立叶级数。为了提高运算速度，采用快速傅里叶变换方法［4］

式中：f(t)是周期函数；t是时间；a0是直流分量；T是一次谐波（基波）的周期；n表示谐波的次数；an和bn分别表示n次谐波的余弦函数和正弦函数的振幅。

2 分形维数

作为分形理论的基本参数，分形维数可以定量刻画分形集的混乱与复杂程度。声音信号被视为一种时间序列，分形当然也能对它进行有效地描述［5，8-11］。声音信号可以从时域和频域两个角度进行分析，本文对时域信号采用简化的盒维数和变分维数来计算分形维数，对频域信号采用信息维数进行计算。

2.1 简化的盒维数

电磁时域信号的分形维数可采用盒维数的简化形式［12-13］。假设声压信号由Ns个采样点{y(ni),i=1,2,…,Ns}组成。相邻时刻声压差值的和为

相邻三个时刻声压最大波动范围的和为

则盒维数的简化形式为

2.2 变分维数

对于时间序列函数 f(t)，a≤t≤b，在子区间τ内的振幅为VARτ=max(f(t)-minf(t))，那么在区间[a,b]内，时间序列函数 f(t)的平均振幅为

变分维数［14］可表示为

2.3 频域信号的信息维数

对于经过傅里叶变换后的声音频域信号{Fy(ni),i=1,2,…,NF}，相邻频率幅值之差为

那么，频域信号的信息维数［12］可表示为

3 计算结果及分析

在人们工作和学习的声环境中，乐声和噪声相互交织。为了明确乐声和噪声的特性，本文对校园内具有代表性的噪音和音乐等进行了取样分析。其中，噪音选择空调噪音、服务器机房噪音和割草机械噪音，音乐选择手鼓和古筝弹奏的乐曲。

图1是不同声音随时间的时域分布。立式空调噪音呈现出振幅约为0.5 Pa的等幅振荡，强扰动随机出现，其幅值通常为1 Pa，偶尔出现2 Pa的情形。服务器机房的噪音与空调噪音基本类似，是振幅约为5 Pa的等幅振荡，强扰动偶尔能达到10 Pa。割草机械的噪音呈纺锤形，其振幅的范围为2～10 Pa。古筝（弯弯的月亮）的时域图则体现出力度的强弱和节奏的跳跃，振幅范围为0～12 Pa。手鼓（青春万岁）的时域图基本呈现出振幅约为7 Pa的等幅振荡，强扰动的幅值可高达10 Pa。

综上，噪音和音乐的时域信号均会出现等幅震荡现象。这样，在时域信号出现等幅振荡并不一定表明噪声的出现，但是，等幅震荡或纺锤形震荡是噪音的基本特征。因此，时域图出现明显的力度强弱和节奏的跳跃是音乐判定的充分条件。

图1 声音的时域分布Fig.1 Time-domain signal of sounds

图2 是不同声音的A计权下的倍频程。样本声音的主要频率一般分布在250～300 Hz，大多数声音的声能随着频率的降低而逐渐降低，并且机械锯草和服务器机房的噪声与音乐呈现出一致的下降趋势。而立式空调的噪声的声能随着频率的增加而增加，当频率增加到约1 000 Hz后逐渐减小。

图2 A计权下的倍频程Fig.2 Aweighted octaves of sounds

表1给出了A计权下声音样本的总声级。服务器机房和锯草机械的A计权总声压级均为110 dB（A）。而国家规定的生产车间和作业场所的噪声最大值为90 dB（A），因此，在服务器机房作业的人员和进行锯草机械的人员应采用佩戴防噪耳塞等相应的防噪措施。音乐的录制现场也超过了国家规定标准，因此在播放这些音乐时应调小音量。

表2给出了不同种类声音的分形维数。噪音频域信号的信息维数变化不明显，其范围为4.14～4.16，而古筝和手鼓频域信号的信息维数范围为4.09～4.16。古筝和手鼓的信息维数范围覆盖了噪音频域信号的信息维数范围。因此，通过声音频域信号的信息维数很难将噪声和音乐区分出来。

对于声音的时域信号，采用简化盒维数来分析时，噪音的分形维数为1.05～1.12，古筝和手鼓的分形维数为1.01～1.41。因此，古筝和手鼓的简化盒维数范围覆盖了噪音频域信号的信息维数范围。采用变分维数分析，噪音的分形维数为1.38～1.49，古筝和手鼓的分形维数为1.32～2.00。因此，古筝和手鼓的变分维数范围覆盖了噪音频域信号的信息维数范围。

在日常生活中，部分音乐给人的感觉是柔美、细腻和婉转，而部分音乐也会给部分人带来类似于噪声的不适感觉，这是因为音乐的分形特征事实上涵盖了噪音。

表1 A计权下声音样本的总声级Tab.1 Total sound pressure levels on base of A-weighted sound levels

表2 声音的维数Tab.2 Dimensions of sounds

4 结论

服务器机房和锯草机械的A计权总声压级约为110 dB（A）。时域图出现明显的力度强弱和节奏的跳跃是音乐判定的充分条件。噪音时域信号的简化盒维数为1.05～1.12，音乐（古筝和手鼓）时域信号的简化盒维数为1.01～1.41。噪音时域信号的变分维数为1.38～1.49，音乐（古筝和手鼓）时域信号的变分维数为1.32～2.00。噪音频域信号的信息维数为4.14～4.16，而音乐（古筝和手鼓）频域信号的信息维数为4.09～4.16。古筝和手鼓的信息维数、简化盒维数和变分维数范围涵盖了噪音信号。