仿射空间中的抛物型螺旋面

于延华，彭兰兰，贾 琨

(东北大学 理学院，辽宁 沈阳 110819)

存在性问题是微分几何研究的重要问题之一，因此确定具有某种特征的曲面或子流形是一项非常有意义的工作.在三维欧氏空间中，学者们对曲线及曲面进行了广泛研究.仿射微分几何是微分几何的一个重要分支, 它主要研究仿射空间中非退化的超曲面在幺模仿射变换下不变的性质.螺旋面是微分几何中一类重要的曲面，文献[1-2]在三维闵可夫空间中研究了椭圆型、双曲型、抛物型的螺旋面，并对具有常高斯曲率和常平均曲率的螺旋面进行分类，最后给出了抛物型螺旋面的几何意义.

本文利用Blaschke度量研究三维仿射空间中的抛物型螺旋面，对平坦的和极小的抛物型螺旋面进行了分类.更进一步对符距为零的螺旋运动下极小的和平坦的抛物型旋转曲面进行了分类.

1 预备知识

在仿射变换下，Berwald-Blaschke度量是一种与坐标系的选择无关的、不变的二次形式. 令Φ(u,v):Ω→R3为三维仿射空间中的一个正则曲面，则Berwald-Blaschke度量可定义为

其中:

本文假定LN-M2≠0且曲面为非退化的. 曲面上满足LN-M2>0的点称为椭圆点，满足LN-M2<0的点称为双曲点. 不失一般性，本文只研究椭圆点的情况[3-4].

本文选取如下绕类光轴旋转的抛物型旋转矩阵：

2 基本概念

主要介绍仿射空间中的余法向量、法向量、高斯曲率、平均曲率[5-8]等基本概念.

定义1已知X是由Φ:Ω⊂R2→X⊂R3所确定的正则曲面，则X的仿射余法向量场定义为

定义 2已知X是由Φ:Ω⊂R2→X⊂R3所确定的正则曲面，则X的仿射法向量场定义为

其中:η·ζ=1；ζ·ηu=0；ηv·ζ=0.

定义 3已知P为正则曲面X上的一点，则P点的形状算子S:TPX→TPX，定义为SP(V)=-DVζ，其中TPX表示P点的切空间，V∈TPX.

由ηu,ηv∈TPX可知，ηu,ηv可由Φu,Φv线性表示：

其中：

则曲面X的仿射高斯曲率、仿射平均曲率可表示为

定义 4设Φ(u,v):Ω⊂R2→R3为三维仿射空间中的螺旋面，则抛物型螺旋面有如下表示[9-10]：

(1)

当符距h=0时，螺旋运动退化为旋转运动，可得如下抛物型旋转曲面：

(2)

下文中Ci,i=1,2,… 表示实常数.

3 主要内容

3.1 平坦和极小的抛物型螺旋面

定理 1设Φ为三维仿射空间中具有式(1)的抛物型螺旋面，则其仿射高斯曲率、仿射平均曲率分别为

证明 直接计算可得

度量系数为

曲面的余法向量为

曲面的法向量为

进一步计算可得

即可得

化简可得仿射平均曲率.同理可得仿射高斯曲率的表达式，定理即得证.

定理 2设Φ为三维仿射空间中具有表达式(1)的抛物型螺旋面，则仿射高斯曲率为零时，曲面为以下三种形式之一:

C4u+hv+C5).

③ 曲面表达式中φ(u)的数值解如图1所示.

图1 曲面③中φ(u)的数值解

此时曲面的数值解图像如图2所示.

证明 令K=0，则

(5u6φ″2+52h2u3φ″+2u7φ″φ‴-44h2u4φ‴-
7u8φ‴2-16h4-4h2u5φ(4)+4u8φ″φ(4))×
(u3φ″-u4φ‴-4h2)(4u6φ″2-8u3h2φ″+4h4)=0.

图2 曲面③的数值解图像

即

u3φ″-u4φ‴-4h2=0,

(3)

或

4u6φ″2-8u3h2φ″+4h4=0,

(4)

或

5u6φ″2+52h2u3φ″+2u7φ″φ‴-16h4-44h2u4φ‴-
7u8φ‴2-4h2u5φ(4)+4u8φ″φ(4)=0.

(5)

令m=φ″，则式(3)可以降阶为一阶常微分方程：u3m-u4m′-4h2=0，可得到解析解：

m=h2u-3+C1u.

(6)

将式(6)两次积分可以得到式(3)的解. 其他方程同理可以解得(其中方程(5)只可解得数值解)即可得定理.

对Ci和h取特殊常数，可得如图3和图4所示曲面的图像.

图3 曲面

u+v+1)

图4 曲面

u+v+1)

定理 3设Φ为三维仿射空间中的抛物型螺旋面，且其表达式为(1)，则平均曲率为零时，曲面表达式中的φ(u)的数值解如图5所示.

图5 极小曲面中的数值解

此时可得曲面的数值解图像如图6所示.

图6 极小的抛物型螺旋面

利用Matlab可求出函数φ(u)的数值解满足的图像.

3.2 平坦和极小的抛物型旋转曲面

定理 4设ψ为三维仿射空间中的抛物型旋转面，且其表达式为式(2)，则仿射高斯曲率为零时，曲面为以下几种形式之一.

证明 直接计算可得

当常数Ci取特殊值时，可得相应的曲面(图7和图8).

图7 曲面

u+v+u3+1)

图8 曲面

定理 5设ψ为三维仿射空间中的抛物型旋转面，且其表达为式(2)，则仿射平均曲率为零时，曲面表达式为

令H=0，则

-φ″2+7u2φ‴2-2uφ″(3φ‴+2uφ(4))=0.

求解该微分方程，定理即得证.

当常数Ci取特殊值时，可得相应的曲面(图9).

图9 曲面

4 结 语

本文在三维仿射空间中，研究了Blaschke度量下的抛物型螺旋面，并得到以下结论：当符距h≠0时，分别得到平坦的和极小的抛物型螺旋面所满足的方程；当符距h=0时，分别得到平坦的和极小的抛物型旋转曲面所满足的方程.