非接触水下爆炸下舰船冲击环境的不确定度量化

梁霄，陈江涛，王瑞利，胡星志

1 山东科技大学 数学学院，山东 青岛 266590

2 中国空气动力研究与发展中心，四川 绵阳 621000

3 北京应用物理与计算数学研究所，北京 100094

0 引 言

舰船非接触水下爆炸是一系列复杂的非线性多物理过程，迄今仍无法得到全系统、全时空的理解[1-4]。在研究水下爆炸时，主要运用3 种方法：试验、理论计算和数值仿真[1,3,5-6]。二战后，西方海军强国通过实船水下爆炸试验[7-8]来直观地观测爆炸毁伤效果和评估船船抗冲击性能，以此判断拟定设备装舰的可行性。然而，实船水下爆炸试验也存在固有缺陷，例如成本高昂、过程不可控、对海洋生态环境造成破坏等。数值仿真的优点是安全环保、成本低、过程可控，但建模和模拟（M&S）过程中却包含了大量不确定性因素，使得决策者对M&S 方法的预测能力有所顾虑。

不确定度量化（uncertainty quantification，UQ）技术结合了试验与数值这2 种方法的优点，运用此技术可提高数值模型的可信度和可靠性。近年来，UQ 研究作为一门新兴学科，受到了欧美国家学者的高度关注，被广泛应用于核能[9-11]、安全[12-13]、航空航天[14-18]等重大工程领域。我国在实船水下爆炸试验领域起步较晚，可获得的样本有限，供借鉴的国外公开资料也极度匮乏，使得我国舰船非接触水下爆炸的UQ 方法研究具备了广阔的应用前景。然而，有关舰船非接触水下爆炸的UQ 研究至今未见相关报道，其中部分原因是水下爆炸的M&S 过程复杂而独特，且无法照搬已有的成熟方法。

首先，由于水下爆炸M&S 过程中不确定性因素繁多且类型不同，除了有物理量自身固有的波动性和测量技术误差导致的无法消除的不确定度外，还有基于拟合数据的需要，在上述过程中使用了没有物理意义的不确定度且无法通过试验标定的唯象参数； 其次，目前常用的UQ 方法成立的前提条件是随机变量服从独立同分布（independent identical distribution, IID），但水下爆炸中的随机变量并不完全服从独立同分布； 再次，部分不确定的物理量要求严格非负，使得概率统计中常见的高斯分布无法直接应用，例如，若假设质量服从正态分布，则理论上样本取值会出现质量为负的非物理情况； 最后，若假设参数服从均匀分布，则容易满足参数的有界性要求，但均匀分布的概率密度函数的强间断性使其很难转化为正态分布。因此，选取合理且符合统计结果的概率分布，对舰船非接触水下爆炸的UQ研究至关重要。

对于UQ 方法的选择，很自然地会想到蒙特卡洛（Monte Carlo，MC）方法，但 MC 方法有着收敛速度慢的缺陷，而能有效代替MC 方法的是多项式混沌（polynomial chaos，PC）方法，它也是大规模工程计算中常用的方法[19-23]。然而，在舰船非接触水下爆炸M&S 过程中有太多的不确定性因素，使得多元PC 方法容易陷入“维数灾难”。简言之，若采用经典的5 个求积点方法计算11 维随机变量驱动的水下爆炸系统，则需要运行程序511≈ 4.9×107次，5 阶多项式则需要展开（PC 截断长度[24]）(11+5)!/(11!5!)-1=4 367次 ，共需运行程序约5×1011次，超出了目前的计算能力。而基于自适应基函数的齐次Wiener混沌方法改进了PC 方法，可缓解“维数灾难”问题，其核心思想是通过构造随机基函数的同构酉变换（unitary transformation）得到新随机基函数，待测物理量在新随机基函数展开下的概率集中在低维子空间。

鉴于此，本文将重点研究使用基于自适应基函数的齐次Wiener 混沌方法处理含高维不确定度的舰船非接触水下爆炸问题。通过设计一个简单的试验装置，给出系统输出量的期望值、标准差、置信区间等统计信息，进而分析、量化和评估不确定性因素对非接触水下爆炸下舰船冲击环境的影响，所得结果可提高数学模型的可靠性、可信度和预测能力，用以为船舶结构设计和设备上舰安装提供依据。

1 数学物理模型

因为水下爆炸的压力与时间及位置有关，且不容易通过实测获得，所以需要通过如下经验公式来确定[1-2,25]。

美国海军舰载设备的抗冲击性能是舰船结构设计及设备装舰的依据。如图1 所示，在舰船-水交界面（流固耦合处），入射波分解为2 个部分：一是穿透甲板的折射波；二是反射回水中的反射波。反射后的净压力是入射波和反射波的代数运算结果。

图 1 试验装置受力分析Fig. 1 Force analysis of experimental setup

2 不确定度挖掘、量化和传播

2.1 不确定度来源和量化

在非接触水下爆炸与舰船相互作用的过程中，存在众多不确定性因素，且可分为2 类：一类是不确定的物理量；另一类是不确定的唯象参数（也称“拟合系数”）。表1 中， ξ1～ ξ6为可通过试验标定的不确定物理量； 表2 中， ξ7～ ξ14为无法通过试验标定的不确定唯象参数，。

表 1 舰船非接触水下爆炸中的不确定度（物理量）Table 1 Uncertainty of ship subjected to non-contact underwater explosion（physical quantities）

表 2 舰船非接触水下爆炸中的不确定度(唯象参数)Table 2 Uncertainty of ship subjected to non-contact underwater explosion（empirical parameters）

2.2 Rosenblatt 变换

二次自适应基函数齐次Wiener 混沌方法成立的前提是随机变量必须是满足独立同分布的标准正态随机变量，但由2.1 节可知，此条件并未得到满足。本文使用Rosenblatt 变换[26]将相关随机变量转化为服从标准正态分布的独立随机变量组。具体步骤为：设 {X1, X2, ..., Xn}为一列随机变量（其中下标n 为随机变量的个数）。令

图 2 随机变量的概率密度函数Fig. 2 Probability density function of random variables

2.3 带有二次自适应基函数的Wiener 混沌理论

3 不确定度量化结果分析

由图6 还可见，随着时间的变化， z(t)的变化范围越来越窄，PDF 峰值增加，而偏度则交替出现。综上所述，采用本文方法对长时间的动力行为进行预测要比初始阶段容易一些。

图 3 弹簧系统位移z 的期望值Fig. 3 Expectation for displacement z in spring system

图 4 弹簧系统位移z 的标准差Fig. 4 Standard deviation for displacement z in spring system

图 5 弹簧系统位移z 的置信区间Fig. 5 Confidence interval for displacement z in spring system

图 6 不同时刻弹簧系统位移z 的概率密度函数Fig. 6 PDF of displacement z in spring system at different times

4 结 论

本文通过设计合适的弹簧系统试验装置，应用概率统计方法研究了中、低强度水下爆炸的不确定性因素对甲板上弹簧系统试验装置的影响。利用基于自适应基函数的齐次Wiener 混沌方法，给出了试验装置位移的期望值、标准差、置信区间以及概率密度函数。得到如下主要结论：

1） 甲板受到水下爆炸冲击波的冲击后，一直处于振荡状态。弹簧系统试验装置的期望值和标准差在达到极大值后逐渐趋于0，置信区间也逐渐变窄。标准差的振荡相比期望值大很多，且标准差达到极值的时间落后于期望值。因此，当舰船受到非接触水下武器的攻击时，爆炸冲击初始阶段的毁伤效果最大且不易预测，此时的舰船防护至关重要。

目前，土地面积测算的方法有解析法与图解法两种[7]。其中解析法利用高精度的界址点计算土地面积，是一种较精确的土地面积量算方法，即用界址点的坐标按相应公式计算土地面积。界址点的坐标测量有导线测量、三角测量或GPS测量[8]。本文选用GPS测量进行特征点的坐标测定，然后通过CASS9.0软件的表面积计算与实体面积计算功能进行河道绿地面积的计算。

2） 基于自适应基函数的齐次Wiener 混沌方法，通过构造随机基函数的同构酉变换，选取合适的投影空间，利用系统响应量在低维空间的结构逼近全系统，可在一定程度上缓解“维数灾难”问题，提高计算效率，节约计算成本，在应用上具有可行性。例如，使用标准多元多项式混沌方法，展开5 次多项式，截断长度为(14+5)!/14!5!-1=46 512-1=46 511，若使用基于自适应基函数的齐次Wiener混沌方法，截断长度为(1+5)!/1!5!-1=5次，效率为 46 511/5 ≈104。

本文研究方法可用于指导船舶设计人员预测甲板上物体的振荡范围，判断鱼雷毁伤影响，为舰上人员采取防护措施提供建议，给出舰船加固标准，并判断舰载设备装舰的可行性。基于自适应基函数的齐次Wiener 混沌方法还可推广到其他船舶冲击响应研究中。

综上所述，舰船非接触水下爆炸的UQ 研究是一个系统工程，需要海洋、工程、数学、物理等各领域专家协同合作，本文仅给出了初步结果。下一步工作拟考虑以下问题：

1） 由于本文尚缺乏实验数据与数值结果的比对，且尚未获取真实的实验数据，所以下一步拟与此领域的专家联合研究水下爆炸试验不确定度的传播和量化，将实验结果与数值结果进行比对，以确认模型的参数。

2） 本文未考虑模型不确定度的影响。事实上，炸药类型不同，峰值压力和衰减常数甚至是拟合函数公式也会不同，即使是同一类型的炸药，也可能会用不同的经验函数表示。因此，研究不同的经验函数对系统输出结果的影响，即模型形式不确定度 (model form uncertainty)的量化，将始终是UQ 研究的一个重要课题。

致谢

感谢山东科技大学公派访问学者项目对第一作者在美国南加州大学访学期间的资助。感谢南加州大学Roger Ghanem 教授对本文选题提出的建议。