深度学习视域下的小学数学微课程设计

孙智信　王洁冰

摘要：本文聚焦线上微课程开发设计，对在线教学落实学生素养，引发学生深度学习进行了全面的阐述。相对于传统现场授课方式，在线教学在教学内容设计、课程活动实施与教学最大效能等方面都显现其优越性。教学中善于捕捉学生在学习中产生的迷思、错误、问题，转化为有效的线上课程资源，启发学生进入深入思考的学习状态，获得对事物或知识本质的深度理解与感悟。学习目标直接指向在线学习背景下的深度学习，实现学生思维与学科素养的深层次发展。

关键词：深度学习;微课程开发;迷思;错误;问题;思维素养

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2020.11.006

中图分类号：G642.0                                文献标识码：A                                  文章编号：1671—1580（2020）11—0029—04

在全球防疫的特殊教育形势下，多种形式的在线教学已经成为线上教学革新和满足学生个性学习需求的必然趋势。站位线上微课程的开发设计，在传统现场授课经验的基础上，线上微课程使课程内容更具丰富性、深刻性，课程活动更具延展性与挑战性。通过线上教学平台，为学生打造优质线上课程，以实现深度学习的效果。开展线上教学期间，学生的迷思、错误和问题将成为引发学生深度学习的有效载体和实施策略。

一、让“迷思”成为深度学习、澄清困惑的突破点

“迷思”一词的意义源于英语单词“Myth”的含义，多在臺湾民众用语中使用。这里提及的“迷思”特指学生在认识事物或问题时，对事物不明白的地方、对问题认识有误区的地方，或是对一些暂时无解的问题进行的揣摩性思考。学生在课堂学习活动中产生的迷思多表现在对某个知识或某类问题探索理解上存在的困惑，也是学生认知理解上的重难点。而一旦使“迷思”解开，也就突破了问题的根本症结，获取的数学理解往往更加深刻。教师应善于捕捉学生课堂生成的迷思，并将其转化为有效的课程资源，更利于引导学生走向素养发展的深度学习。

迷思1：笔算除法为什么不从低位除起呢？

学生在三年级下册学习两位数除以一位数笔算除法，一般情况下，学生往往借助操作活动理解笔算除法的计算过程与算理。但是也会有一部分学生因为并不真正理解计算规则而产生迷思。例如：对于计算规则一般都要从高位算起就会有疑惑，为什么要这样规定呢？从低位（个位）算起不可以吗？

例如：以“96÷3=”为例，从个位除起，先算个数的6÷3，在商的个位上商2;再算十位上的90÷3，对应在商的十位上商3，最后得到结果32。学生认为这样计算也比较简便。面对学生出现的迷思，教师该如何处理呢？很多有经验的教师会抓住这个契机，出示如“38÷2=”这样有代表性的算式，让学生在计算中深化理解：先算个位的8÷2，在商的个位上商4;再算十位上的30÷2，对应在商的十位上商1，十位出现了剩余，接着把余下的1看作10，10÷2个位再次得到商5，最后把商个位得到的两个结果合在一起，得到结果商19。这种体验式的对比强化学习，会使学生理解无论从高位或低位算起在算理上都是说得通的，但当计算过程出现剩余时，相比之下从高位算起的算法可以避免重复计算，计算更加简便。教师通过组织学生计算、操作或讨论等学习活动，让学生明理通法，再通过适当的练习落实强化算法。

以往现场授课的方式往往会面临一些客观的实际问题，如课堂上没有出现学生的迷思，教师是否需要把这个问题提出来进行处理？如果处理迷思占用了课堂的大部分时间，课堂质量的落实还能否得到保证？课堂活动处理到什么程度才能发挥迷思的最大效能，有效增进学生的深度理解等。相比之下，线上微课程活动的开发与设计，不仅使这些问题得到了有效解决，而且线上微课程设计更突出教材重点的有效落实以及对学生生成资源的充分利用，帮助学生澄清困惑，解开迷思。这样的学习过程本身就是深入理解算理与算法的过程，能够启发更多学生实现深度思考。

迷思2：假分数5/4可以理解成5/8吗？

在五年级下册认识真分数、假分数的学习中，一些学生在对单位“1”的理解上出现偏差，在认识假分数的意义时产生迷思。例如：在表示假分数5/4时，两个圆形一共被平均分成了8份，表示其中的5份，为什么这个分数不是5/8呢？

学生在学习中产生类似的迷思，也是学生在认知理解上需要突破的难点。教师要怎样引导解决呢？在课堂上一些教师会组织学生利用手中的学具和已有经验再次表示5/4这个分数。学生把圆形、正方形等学具平均分成4份，涂色表示其中的5份。通过操作体验活动，帮助学生进一步理解单位“1”和分数的意义。线上微课程的设计可以在此基础上，通过引入“分数墙”的数学模型，引导学生借助分数墙理解分数5/4的意义。如先用一个分数墙，把单位“1”平均分成四份，表示出4/4。还缺少一份，再取第二个分数墙和第一个分数墙拼接在一起，也就是用两个单位“1”，接着表示出1/4，最后合起来就得到5/4。设计中再引导学生结合分数的意义和分数与除法的关系进行对话讨论，对比强调5/4是把单位“1”平均分成4份，表示其中的5份。而5/8则是把一个单位“1”平均分成8份，取其中的5份，意义是完全不同的。这使学生深刻体会到无论哪种特点的分数，本质意义上都是把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数。学生经历这样的深度学习，能够更好的理解数学概念的本质。

一些教师在实际教学中还存在因活动处理不当，或不能从活动中及时抽象提升概念等因素，使课堂活动陷于低效，学生并不能很好获取对概念的认识和本质的理解。线上课程的开发更注重围绕重点展开，将有效的活动合理整合，使活动内容更加丰富，优质资源得到充分利用。教学中如果教师能引导学生进入一种迷思的情境和状态当中，并在不断迁移、猜想、验证等活动中突破迷思，则更利于实现知识的深化理解与再创造，也能够使学生的思维和素养得到更好的深度发展。

二、让“错误”成为深度学习、增进理解的深化点

心理学家盖耶指出：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”叶澜教授曾在《重建课堂教学过程》一文中提到：“学生提出的争论乃至错误的回答等，无论是言语还是以行为、情绪方式的表达，都是教学过程中的生成性资源”。错误是学生探究的标志，也是学习的经验，所以“学习错误是有价值的”（布鲁纳语）。深度学习的课堂要求教师重新审视自己的教学，使课堂成为允许学生出错的地方。差错存在实际上是对学生认知的自然展开，是给予学生自主处理新问题，学会在复杂情境中进行辩解、分析、判断和推理的机会。也将成为师生逐步认识错误、利用错误、实现师生共同成长的发展空间。

错误1：个位上是3、6、9的数一定是3的倍数？

学生在五年级下册3的倍数特征学习中，受学过的2、5倍数特征的负迁移，在认识3的倍数特征时产生认知理解上的错误。例如：个位上是3、6、9的数，就一定是3的倍数。这种错误具有一定的普遍性，也是学生在学到这部分知识时经常会出现的错误。

教师在面对学生的错误时，特别是在课堂上要能对错误产生的原因作出及时判断，这样利于错误资源在课堂上得到有利运用。分析学生出错的原因，主要是在借助百数表和不完全归纳法探索数的倍数特征时，百数表第一行呈现的3、6、9这几个数据的特殊性，唤起了学生已有的认知经验，这种知识的迁移误导学生联想到3的倍数特征也应该和2、5的倍数特征一样，只看个位数字的特征就可以作出判断。针对学生出现的错误，在线上微课设计中让学生举出反例：13、16、19……，这些数的个位数上也是3、6、9，却不是3的倍数，激起学生认知的矛盾。学生进一步观察百数表发现：3的倍数的数在个位数上出现“0～9”十个数字的情况均存在，说明3的倍数特征只看个位上的数是不行的。教师进一步引导学生探索百数表中蕴含的规律，最终获得对3的倍数特征的深刻理解。

学生的学习是建立在已有经验基础上的一个主动探索过程，当学生因思维定势产生的错误以显性的方式呈现出来时，这种错误资源就可以转化为能够增进学生数学理解的线上学习资源。这时教师要给学生留出足够的学习时间，让学生针对错误进一步研究百数表，在圈画、讨论、发现、验证等活动中，最终讨论得出3的倍数特征。让学生自己去发现、纠正，最终形成对概念特征的深刻认识。并发掘出为什么“各位上的数的和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数”的特征本质。错误资源在微课设计的活动中得到有效运用和放大，成为学生打破思维定势和原有认知、探索发现3的倍数特征本质的重要载体。

错误2：圆锥的展开图是一个三角形？

在六年级下册圆柱与圆锥的学习中，在认识了圆柱、圆锥的特征、表面积和体积等知识后，一些学生认为：既然一个圆柱的展开图可能是长方形、特殊的正方形或一般的平行四边形，联想圆锥的表面展开图就应该能得到一个三角形。学生出现错误的原因是缺少对圆锥展开的直观操作体验。在小学数学学习中，圆锥的表面积也并没有列入学生必须掌握的内容范围。学生因此缺少经验，导致将圆锥的展开图与圆锥的纵切图认知混淆，出现上述的错误。

教师一般会在课堂上引导学生利用学具剪拼、切割等操作进行对比活动，帮助学生建立圆锥的侧面展开图是一个扇形的表象经验，而把一个圆锥沿顶点和底面直径竖直切开，得到的纵切面才是一个特殊的等腰三角形。线上微课程除了让学生厘清对圆锥展开图特征的认识外，还进一步拓展研究圆锥表面积的计算方法。学生在操作中进一步发现扇形面积与圆形面积之间部分与整体的关系，通过测量、计算等活动，学生有能力自主研究得到圆锥表面积的计算方法。线上课程可以在现场授课基础上，根据需要为学生提供更有益的活动拓展与补充。

高年级学生具备了一定的自主学习和知识迁移能力，乐于探索未知的问题。这个错误认识也恰好成为引导学生深入认识圆锥特征和计算圆锥表面积的课程资源。学生产生错误、发现错误、修正错误的过程，本身就是一种尝试、探索与再建构的过程。如果教师能够鼓励学生大胆猜想、不怕出错，学生个性化的理解和求异思维就能引发学生的深入思考，使学习更加深刻、有意义。

三、让“问题”成为深度学习、启发思考的生长点

巴尔扎克曾说过：“打开一切科学的金钥匙都毫无疑问地是问号。”现代教学论的研究也指出，从本质上讲，感知不是学习产生的根本原因，产生学习的根本原因是问题。所以现代学习方式特别强调问题在学习活动中的重要性，一方面强调通过问题来进行学习;另一方面则通过学习来生成、解决问题。培养学生的问题意识成为获得创新性学习体验的基础，如果学生具有较强的推陈出新意识，特别是在新事物或知识的探索中，则能积极思维，不断发现、提出问题和解决问题。这种问题意识就会在学生内部思维中不断得到深化，形成持久的问题思考的习惯。

问题1：学习了表内除法，更大数的除法怎样计算呢？

在二年级下册表内除法学习中，经历了用乘法口诀求商的单元学习后，有学生提出了这样的问题：乘法口诀中最大一句口诀是“九九八十一”，用这句口诀可以计算81÷9=9的结果，如果被除数变成90、99……或者被除数和除数都变为更大的数，除法又该怎样计算呢？

线上微课程设计可以针对上述问题拓展以下活动：呈现学生两种解决问题的主要方法。一是利用知识间的联系进行方法迁移，即把90拆分成81与9的和，这样分别计算得到81÷9=9和9÷9=1两个结果，再把结果合起来得到最后结果10。二是借助平均分的除法意义，通过学具操作活动，最后使问题得到解决。教师在课堂上引导学生通过操作、举例子等活动尝试解决问题，进一步巩固除法和平均分的意义，构建起知识间的内在联系。这样对于中高年级将继续研究学习的内容，在低年级就为学生适当埋下思考和经验的伏笔。

表内除法是后续学习整数除法运算的重要基础，学生在课堂上提出的上述问题，正是接下来要进一步学习整数除法计算时要研究和解决的问题。所以学生提出的问题极具思考性和研究价值。不仅是对后续学习的铺垫，更能有效实现思维和方法的迁移与运用。把这样的问题呈现在微课程设计当中，利于全体学生参与解決问题的过程，让学生深度理解对于更大数的除法运算，也能转化成最基本的表内除法计算来解决，只是需要更多计算步骤来完成。这些知识相互关联，方法相通。这样使学生的学习处于一种悬而未绝又特别渴望进一步探索的求知状态，思考更加深刻，学习的愿望也愈加强烈。

问题2：长、正方体体积统一的计算方法适用于所有柱体体积的计算吗？

学生在五年级下册长方体和正方体体积的学习中，在掌握了长、正方体体积的统一公式，即用“底面积×高”来计算的方法后，一些学生类比提出了这样的问题：是不是像圆柱、正三棱柱、五棱柱、六棱柱……这些所有柱体的体积都可以用统一的体积公式来计算？

微课活动中设计了以圆柱为例的探索过程。通过呈现学生不同的思考过程，让学生借助长、正方体学习的经验思考圆柱体积的计算方法，展示两种思考问题的主要方法。一是通过圆柱与长、正方体特征的联系，圆柱和长、正方体具有相同的立体图形特征，不同的是圆柱的底面是一个圆形，圆形的面积可以用学过的知识完成计算，这样推理出圆柱的体积也可以用“底面积×高”来计算。二是联系生活经验，想象把若干枚硬币上下叠在一起就形成了圆柱，把一枚硬币的面积看作底面积，硬币摞在一起的总厚度看作圆柱的高，用这个统一公式同样可以计算体积。在此基础上，将体积统一计算公式拓展到其他柱体等立体图形体积的计算应用当中。

在体积计算的学习中，“底面积×高” 作为计算立体图形体积的统一公式，适用于所有与长、正方体具有相同特征的立体图形体积的计算。相比之下，课程设计中引导学生通过长、正方体特征、底面积概念和立体图形体积计算方法之间联系的沟通与对比，能够帮助学生建立对体积计算统一公式的理解，学生能根据学习经验，大胆猜想并提出问题，融入了自己的思考，更利于迁移生活、知识经验，成为启发学生深度思考的生长点。这个问题无论对问题提出者，还是一起参与学习的研究者，都具有较强的探究意义，也为学生进一步探索圆柱等立体图形体积计算提供了知识基础，使学生经历的探索过程更具拓展性和生长力。

综述，在小学数学线上微课程的开发与实践中，以“迷思、错误、问题”三维导向设计、开展的学习活动，已经成为学生实现深度学习、促进思维发展的有效契机和重要途径。让学生印象深刻的深度学习体验，如果缺少“迷思”就不能引发奇思妙想;缺少“错误”就不利于厘清事物的本质;缺少“问题”也就缺少了思维的创新、生长和拔节的生命力。反之，深度学习又会促使学生在认识上不断产生“迷思”，允许学生在大胆探索中出现“错误”，并不断在学习过程中迸发、生成新的“问题”。如果未来的课堂教学和在线微课程学习，都能始终充盈这样一种学习的环境和状态，也就实现了真正意义上学生素养的深度学习。

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[责任编辑：王    辰]

Mathematics Micro Curriculum Design in Primary School from the Perspective of Deep Learning

——On the Online Development Strategy of "myth"， "error" and "problem"

SUN Zhixin， WANG Jiebing

（The First Experimental Primary School of Jilin City， Yongji Special Education School， Jilin Jilin  132000，China）

Abstract： This paper focuses on the development and design of online micro courses， and comprehensively expounds the implementation of students' literacy in online teaching and the deep learning of students. Compared with the traditional on-site teaching method， online teaching shows its advantages in the design of teaching content， the implementation of curriculum activities and the maximum efficiency of teaching. In teaching， students are good at catching the myth， error and problems in learning， transforming them into effective online course resources. On-line teaching can inspire students to enter the learning state of in-depth thinking and obtain in-depth understanding and perception of the essence of things or knowledge. Learning objectives directly point to in-depth learning in the context of online learning， to achieve the in-depth development of students' thinking and subject literacy.

Key words： deep learning; micro curriculum development， myth， error， problems， thinking quality

收稿日期：2020—09—14

作者简介：孙智信（1980—），男，吉林省吉林市人，吉林市第一实验小学，小学高级教師，本科。研究方向：小学教育与数学教学。吉林省骨干教师，吉林市功勋教师，2017年省培计划省骨干培训班学员。

王洁冰（1982—），女，吉林永吉人，永吉县特殊教育学校，副校长，小学一级教师，本科。研究方向：特殊教育与教学管理。吉林市骨干教师。