重历算法形成过程，寻求对算理的深度理解

管小冬

教完“两、三位数除以两位数”后，我都会给学生们再上节“特殊”的复习课。课上，既没有单元学习的回顾与梳理，也没有日常复习课的对比练习、查错、析错，而是让学生们“忘记”已学的除法计算法则，从头学起，重历除法竖式算法的形成过程，在其间达成对除法的深度理解，感悟这看似寻常的除法竖式中所蕴含的治学方法与精神。

【案例】复习课《我真的懂除法吗？》教学片断

播放视频：记者街头采访一位外国朋友，请他计算8×7。外国朋友知道8×7 就是把7 个8 相加，于是便从8、16、24、32 一直往后加，可惜加到7 个8 时出现了错误，得到答案55。

（观看过程中，很多学生都忍不住笑了起来。随后，教师组织学生交流自己的感受。略）

师：如果请这位外国朋友去算我们刚学过的“两、三位数除以两位数”，比如“823÷21”，想想，他会怎么算？

生：估计会用823 不断去减21，看要减多少次，最后还余多少。

生：也可能不断加21，看多少个21 最接近823。

师：看来大家都认为这位外国朋友知道“823÷21”就是要算823 里有多少个21。不过，如果这么算的话，你们觉得他……

生：（笑着说）他会崩溃的。这也太麻烦了！

师：是啊，根据除法的意义可以得到上面这两种基本方法。但如果每次都这么算，显然太烦了！怎样可以简便？大家有什么适用于他的好建议吗？

生：我觉得他可以先减210。因为虽然他乘法计算能力不强，但21×10=210 还是好算的。

师：那我们就用210 来试试。

师生交流后，教师板书：823-210-210-210=193。

师：接下去怎么办？

生：再用193 去减21，看能减多少次。

师：减多少次，大家知道吗？

生：193÷21=9……4，要减9次，还余4。

（板书：193-21-21……-21=4）

师：最后答案是多少？

生：39 余4。上面减了30 个21，下面还有9 个，一共就是39个，还余4。

师：哎呀，真不简单！在大家的帮助下，这回确实简便了不少。如果他想把除法计算的本领再提高些，有什么好建议吗？

生：那他就得去学除法竖式。

生：学除法竖式前，还得先背乘法口诀表。因为除法竖式计算离不开乘法。

师：（出示823÷21 的除法竖式，如下图）这是我们熟悉的除法竖式，与刚才的计算过程相比，有联系吗？

生：除法竖式是把刚才相同的步骤合在了一起。比如，第一步其实就是减去了30 个21，第二步再减去9 个21。

师：大家看出来了吗？除法竖式就是把原来分步减的过程又进行了优化。这样我们计算除法时就方便多了。不过，这么便捷易用的除法竖式，究竟是怎么来的呢？想知道吗？

教师逐步呈现历史上不同阶段的除法竖式。（如下图）

学生阅读后交流自己的理解与感受。感悟除法竖式计算就是一个在反复尝试、调整中，不断逼近、寻找结果的过程。今天所用的除法竖式算法，是一代代数学人不断思考、优化后的智慧结晶。

【思考】重历，为了寻找遗失的美好！

可能会有教师要问，学完“两、三位数除以两位数”后，学生已经基本掌握了除法竖式的算理与算法，为何还要专门花一节课的时间来让学生重历算法形成过程呢？以下是我一段时间以来在除法教学过程中的一些自我追问与反思，这节复习课正是在此基础上生成的。

一、对“除法教学”的追问

除法是四则运算中公认最难的一种运算。一方面，除法竖式的书写形式与学生经验系统中加、减、乘的竖式计算形式不同，因而学生在学习除法竖式时，前序知识带来的负迁移使其需要花费更多时间与精力去理解、掌握；另一方面，除法计算其实是一个逐次乘、减的过程。特别是当除数是两位数及以上时，要顺利且较为熟练地完成计算，对学生在口算、估算、判断、决策、短时记忆等方面均有不低的要求。

为了让学生理解除法竖式的算理，掌握算法，各版本教材多按照“表内除法——有余数除法——除数是一位数——除数是两位数”的脉络进行编排，于螺旋上升中逐步培养学生的运算技能，发展运算能力。在上述各章节内容的具体编排时，编写组专家也是精心设计、煞费苦心。以苏教版《两、三位数除以两位数》单元为例，依次就有“除数是整十数商是一位数的除法口算和笔算”“除数是整数十数商是两位数的笔算”“把除数看作与它接近的整十数试商”“四舍调商”“五入调商”等内容。然而，即使是在这样精细、周密的安排下，学生在除法计算中仍然会出现各种形式的错误。经过教师精心设计的练习与巩固，情况虽然开始逐渐好转，但当五年级继续学习小数除法时，之前我们熟悉的那些整数除法中的典型错误又卷土重来。

由此，我们是否应该做出类似这样的追问：“在整数除法的教学中，我们缺失了什么？”“学生真的懂除法吗？”

在《现代汉语词典》中，“懂”义为“知道、了解”。那么，对于除法，学生应该“知道、了解”什么？仅仅知道除法计算法则及相应的算理，行吗？

显然，当下我们所使用的除法竖式，是在既往研究的基础上对寻求除法结果所经历步骤的简约数学表达。但如果仅仅将这样的演算视为一种程序性运算，那么时间久了，操练过度了，学生们是否如机械一般，只知运作，不懂思考？如此，作为促进学生思维发展的数学教学，作用又何在？

更进一步，身处“百度一下就能知道”的时代，身处“计算器”随处可见的当下社会，学生为什么还要花费很长时间去学习、掌握这样的计算方法呢？

教学中，我们在重视、突出规范书写格式的同时，是否弱化了学生对“尝试、调整、优化”这一数学学习、数学研究中极为重要的解决问题的方法与精神的感悟？相较于那些能完美进行除法竖式计算的学生，我们是否更应夸赞那些能及时调整、修正直至寻找到正确结果的学生？

二、对“除法竖式”的深思

基于以上追问，我以为，我们必须再次审视、剖析作为基本运算的除法，尤其是于现在的我们看来，极具数学简约美与形式美的除法竖式，除其外显的程序性算法外，其间还蕴含着怎样的数学思想、方法与精神。

“已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算，叫做除法。”显然，除法的定义源自于乘法，即除法是乘法的逆运算。《数学课程标准（2011版）》对第二学段“数的运算”部分的教学也提出了这样的要求——“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。”

回顾除法竖式的发展历程，（见前图）不难发现，当下我们所学习的除法竖式，正是先辈们对“如何高效、简洁地‘求另一个因数’”这一问题反复思考、不断优化后的智慧结晶。除法，特别是除法竖式，是一个不断尝试（估算、对比、调整）并逼近结果的过程。

是的，除法的竖式计算仍然只是一个寻找结果的过程。既然是过程，我们就不应也不能对其间的书写、首次正确率提出过高的要求。而这，往往又会被熟悉教材、熟稔教学过程的我们所忽视。其实，凡事总可能会出错，没有错又哪来的对？或者说，没有经历过“错”的对，往往会来得不够深刻。

我想，如果我们允许学生在除法竖式计算的过程中“错”，鼓励他们在“错”上继续调整、完善，在这样的过程中，他们是否更易理解除法竖式为何要写成这样，更能感悟于尝试、对比、调整的往复中不断逼近真相的治学方法，体会竖式中所蕴含的孜孜不倦、精益求精的治学精神。亦如老子所说，“天下难事，必作于易。天下大事，必作于细。”

于是，就有了上面这样一节“特殊”的复习课。其实，不仅仅在学完除法后我会上这样的复习课，在平面图形面积计算、运算律、数的认识……学习之后，我都会上一节“特殊”的复习课。因为，很多时候，学生的数学学习都是站在前人的肩膀上，理解、掌握那些历经几百甚至是几千年探索总结出的数学成果。教材的编排、教师的教学总是竭力将这些数学成果掰开、揉碎，力图用最恰当的方式、最短的时间、最高的效率让学生掌握。然而方法易得，思想难悟，如果经历不充分、思考不深入、理解不透彻，学生是很难深刻感悟这些数学成果的优越性以及其间蕴含的思想、方法、意志、品质与精神的。

那么，不妨带着学生在此驻足，回首吧！正所谓“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处！”