基于同伦延拓及自调比校正的电容层析成像图像重建

陈宇 张江涛 夏宗基

摘 要：针对电容层析成像（ECT）图像重建的“软场”效应和病态性问题，提出了基于同伦延拓正则化及自调比校正（HER-SSM）的ECT图像重建算法。该算法在ECT理论的基础上，将同伦延拓思想与正则化方法相结合，而且结合自调比推导出相应的校正公式，最终获得关于ECT图像重建反问题的数学模型。用该算法进行数字仿真模拟实验，通过实验来验证其有效性。仿真实验通过与经典Landweber算法、SD法等其它成像算法结果的比较分析，表明该算法在解决ECT图像重建问题上，具有图像成像质量高、收敛速度快、迭代次数少等优点，是一种解决ECT成像问题的有效算法。

关键词：电容层析成像;图像重建;同伦延拓;自调比校正

DOI：10.15938/j.jhust.2020.05.007

中图分类号： TN911.73

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2020）05-0047-07

Abstract：In order to solve the “soft field” and uncertainty problems in electrical capacitance tomography， a homotopy extension regularization and self-scaling metric image reconstruction algorithm for electrical capacitance tomography is presented. On the basis of ECT theory， the algorithm combines homotopy continuation with regularization method， and derives the corresponding correction formula combined with self-tuning ratio. Finally， the mathematical model of inverse problem of ECT Image reconstruction is derived. The algorithm is used in digital simulation experiment to verify its effectiveness. The simulation results are compared with the classical Landweber algorithm， SD algorithm and other imaging algorithms. The results show that the algorithm has the advantages of high image quality， fast convergence speed and less iteration times in ECT Image reconstruction. It is an effective algorithm to solve ECT imaging problems.

Keywords：electrical capacitance tomography; image reconstruction; homotopy extension; self-scaling metric

0 引 言

電容层析成像（electrical capacitance tomography， ECT）技术是借鉴医学发展而来的一种新的过程层析成像技术[1-2]，相比于其它过程层析成像技术来说，具有容易实现、成本低廉、安全性高、使用范围广等优点[3]，已经广泛运用于能源、冶金、石油化工、医药、航空等众多两相流和多相流检测领域 [4-5]。由于ECT反问题是一个高度的非线性问题，介质中的物质变化与外界的干扰会造成“软场”效应，而且由于敏感场灵敏度的分布不均匀，给ECT图像重建带来较差的稳定性和病态结果[6]。因此需要寻找更加优秀的ECT图像重建算法。

为了优化并解决上述一系列问题，国内外学者和科研人员提出了许多优秀的ECT图像重建算法，目前常用的算法有如下几种：线性反投影算法（LBP）[7]，该算法具有结构简单和成像速度快等优点，但是成像精度较低，效果不好。Landweber迭代法[8]，该算法在稳定性和成像精度方面较为出色，但是由于搜索方向不理想，会导致有可能迭代不到最优解。共轭梯度算法（CG）[9]，由于该算法的系数矩阵必须是对称正定，所以该算法在简单流型的成像效果较好，精度较高，但是在复杂的流型中图像精度误差较大，效果明显下降。最速下降算法（SD）[10]，该算法以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，实现简单，但在多数流型中迭代次数较多，在较为复杂的流型中误差较大，尤其是小半径核心流，效果极差。通过分析上述几种算法，可以得到每种方法都有自己的优势，但是也相应存在着一些局限性。因此，在实际生活应用中，想要找到一种理想的ECT图像重建算法来解决工业需求，还需要不断的深入研究与完善。

本文提出了基于同伦延拓正则化及自调比校正的ECT图像重建算法，目的是加强ECT图像重建时的稳定性，获得更好的图像重建效果。仿真实验结果证明，该算法作用于低层流型、中位层流型和小半径核心流型的重建图像时，其图像精度明显高于LBP、Landweber、CG和SD算法，同时该算法在迭代次数方面也表现得较为出色，为电容层析成像图像重建领域提供了一个有效的新途径。

1 ECT技术原理概要

ECT图像重建系统的主要组成为三大部分：电容传感器装置，数据采集与测量系统以及负责成像的计算机系统[11-12]，如图1所示。

在ECT图像重建研究中，经常使用8、12、16电极板数量的电容传感器装置。本文选用的是经典12电极的ECT系统作为实验装置[13]。

电容层析成像的工作原理[14-15]：由于不同介质在一定频率下的介电常数不同，对电容传感器施加激励后，监测对象内部多相流体的分布随之发生变化。根据测量电极间的电容敏感原理，电容传感器极板间的值也会相应发生变化[16]，通过电容传感器测量被测物体截面区域上的数据、数据采集系统采集数据，经过滤波、变换、放大等一系列相关操作，然后把处理之后的数据传给成像计算机，经过图像重建系统建立被测物体截面内部的介质实时分布图，最终由成像装置反馈给用户。

测量极板间电容值流程如下：首先，将1号电极当作源极板，施加交流激励电压，剩余2，3，…，12号电极作为检测电极，进行接地处理，依次对1-2，1-3，1-4，…，1-12电极对之间进行测量电容值。然后，按照上述方式，再将2号电极作为源极板，同时施加交流激励电压，剩余3，4，…，12号电极作为检测电极，也进行接地处理，获得2-3，2-4，…，2-12电极对之间的电容值。以此类推，最后将11号电极作为源极版，施加交流激励电压，12号电极作为检测电极，获得11-12号电极之间的电容值。总共累计获得66组独立的电容值。

大多数ECT图像重建的数学模型都是以电容值到介质分布映射模型为基础，经过线性化、离散化以及归一化处理后的最终的ECT系统的数学模型如式（2）所示：

式（2）中， C∈Rm表示电容传感器测得的归一化电容向量， S∈Rm×n表示灵敏度矩阵， G∈Rn表示流体内各介质分布的归一化图像向量。因此，ECT圖像重建的目的就是通过测量的电容值，结合灵敏度矩阵解出流体内各介质的分布，获得介质分布图像。

2 基于同伦延拓及自调比的ECT反问题求解

2.1 非线性不适定方程求解介绍

首先，设电容层析成像反问题求解的非线性不适定算子方程如式（3）所示：

由于真解G*不连续依赖于右侧数据C，在计算过程中可能导致矩阵奇异，得不到最终解，所以本文通过增加一个正则化参数α来解决在计算过程中可能会出现矩阵奇异的问题，正则化参数表达式如式（5）所示：

通过上述迭代公式，不难看出，解决上述问题的关键是如何选择合理的正则化参数。如果正则化参数α值太小，正则化效果不明显，在计算过程中矩阵仍有可能出现奇异的情况。如果α值太大，有可能过分正则化，导致得到的介质分布解不准确，误差较大。在式（13）中，可以发现正则化参数α与同伦参数λk密切相关，因此将参数α与λk放在一起考虑。本文采用后验正则参数选择方法Morozov偏差原则[18]，即选取α=α（k）使得：

3 仿真与实验结果

上文中给出了同伦延拓及自调比校正的理论以及公式，为接下来的ECT图像重建反问题提供基础。本次仿真实验的硬件如下：12电极的ECT系统，测试管道的横截面被分成32×32小型像素点。用于仿真实验成像的计算机配置如下：Intel（R） Core（TM）i7-8700 CPU @3.20GHz处理器，RAM大小为16.0G，系统类型为基于x64处理器的Windows 64位系统，使用MATLAB软件进行实验的图像成像与分析。

本次仿真实验主要对低位层流，中位层流，小半径核心流以及柱状流型进行预先设定，其中低位层流和中位层流都属于层流型，本文将整个管道抽象为半径为0.0768m的圆，圆心坐标为（0，0），那么低位层流是指水的高度低于水平高度为-0.0512m的水平流型，中位层流是指水的高度低于水平高度为-0.0256m的水平流型，小半径核心流则属于核心流型。采用本文主要研究的HER-SSM算法进行图像的重建。同时采用SD法，CG法，LBP法和经典Landweber算法进行图像重建，将HER-SSM算法与其他算法的重建图像结果进行对比和分析。

其中：n表示成像区域单元总数;gimg表示重建图像向量;ginit表示介质分布原型图像向量;i表示成像区域剖分单元索引。

实验中以迭代次数作为此次实验速度优劣的判定标准。迭代次数N越大，表示电容层析成像图像重建所花的时间越长，当实验的迭代误差达到一定值的时候就停止迭代，停止迭代的条件如下：

同伦延拓正则化及自调比算法与其它4种经典算法的图像重建效果对比如图2所示（其中深色区域表示水，浅色区域表示变压器油）。

根据上表的对比分析可以得出，每种算法的图像重建结果都比较接近原始图像，但是都与原始图像存在视觉上的误差。其中，在低位层流中，HER-SSM算法与Landweber算法重建图像结果与原始图像最为接近，但是HER-SSM算法重建效果更好。并且在小半径核心流型中，HER-SSM算法重建图像最接近于原始图像。而在柱状流型中，HER-SSM算法的重建图像与原始图像存在一定误差，但是在视觉效果上大体上接近于原始图像。综上所述，本文所论述的HER-SSM算法在直观的图像重建方面对比于其他四种经典算法，它的成像质量高，最为接近原始流型，在忽略其小缺点基础上，是能够较好的应用于电容层析成像图像重建领域。

为了方便起见，采用字母（a），（b），（c），（d）来表示低位层流、中位层流、小半径核心流与柱状流型。表1中展示了每种算法在不同的流型中重建的图像与原始图像的误差百分比。

表1中列出的是上述几种算法的图像重建误差。通过观察误差率，可以发现本文提出的HER-SSM算法相对于其他几种经典的算法在低层流型、中位层流型和小半径核心流型中有着非常好的表现，其误差率能够达到最小。但是对于柱状流型来说，其误差相对较大，成像效果一般。

同伦延拓正则化及自调比算法与其他算法的范数残量误差比较如图3所示。

图3对于仿真实验的4种流型，将HER-SSM算法分别与CG、SD和Landweber 3种经典算法0～20步迭代的二范数残量误差进行对比，其中蓝色曲线表示HER-SSM算法的范数残量误差曲线。从图2中可以得到，在4种流型中，HER-SSM算法的范数残量误差在前期都优于其他3种算法，虽然后续迭代范数残量误差不断变大，但最终也都趋于稳定达到最小。范数残量误差仅是判断算法优劣的其中一个指标，而且算法本身的迭代就是一个向最优解靠近的过程，但是由于算法初始值的不同，可能会导致在迭代过程的前期出现范数残量误差不稳定的现象。随着算法迭代步数的不断增加，恰好在10次左右介质分布的图像向量G迭代到最优值，而达到最优值以后范数残量误差降到最小，最终趋于稳定;在小半径核心流型中，CG算法参数值波动太大，HER-SSM算法在第10次迭代时范数残量误差达到最高值，后续迭代又逐渐减小。对于柱状流型，HER-SSM算法在起初优于其他3种算法，范数残量误差最小，但中间几次迭代时，范数残量误差都明显大于其它3种算法，在第11次迭代之后又逐渐趋于平稳，达到最优。

通过表2可见，在柱状流型中，HER-SSM算法迭代步数远远小于其它3种经典算法;在其它3种流型中，该算法也领先于SD 算法和Landweber算法这两种经典的迭代算法，这是因为HER-SSM算法改善了算法的单步收敛速度，而且设置了正则化参数αk，优化了迭代初值G0。因此，HER-SSM算法能够有较快的收敛性，迭代次数相对较少。

综上，可以证明同伦延拓正则化及自调比算法在ECT图像重建领域是一种比较优秀的算法，该算法在低位层流以及小半径核心层流的图像重建结果中，成像质量远远优于其他的几种算法，而且在收敛速度上也具有很大优势。

4 结 论

本文提出了基于同伦延拓正则化及自调比校正方法的ECT图像重建算法，在ECT图像重建领域对HER-SSM算法进行理论推导，然后结合ECT系统推导出了算法的最终迭代公式和自调比因子的校正公式。最后，将HER-SSM算法与LBP算法、经典Landweber算法、CG算法和SD算法一起进行仿真实验。通过5种算法仿真实验数据结果的对比，发现HER-SSM算法在ECT重建图像领域的低位层流以及小半径核心流型具有最好的成像精度，并且该算法所需的迭代次数也少于其他算法，是一种可行有效的ECT图像重建算法。

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（编辑：温泽宇）