基于联通主义学习观开展数学OMO教学——以《因式分解》为例

□张娟萍

（杭州市上城区教育学院，浙江杭州310009）

“停课不停学”使教师迈出了在线教学的重要一步.在线教学是“权宜之计，更是变革趋势”，线下课堂恢复后不可能被打回原形，OMO（ONLINE-MERGE-OFFLINE，线上线下融合）将成为教学的常态.OMO教学是基于媒介、跨时空、交互方便的新型教学方式，它打破了传统课堂教学教师主导的特点，海量资源供选择.学生不仅仅是知识的消费者，更是知识的创造者.这种现状就迫切要求有一个适应和解释数字化时代学习特征与规律的理论来提高OMO的整体质量.据此引入联通主义学习理论.它强调学习是连接专门节点和信息源的过程，是对知识的连接、重组、再造能力.

基于联通主义学习观，学生是联通的节点；教师是课程的促进者、影响者和网络资源塑造者.联通的方式体现在学生与资源、他人的交互活动.教师设置学习项目，引入学生卷入学习过程，连通知识节点，基于创造生长知识，形成获得知识的方法.笔者以《因式分解》为例加以说明.

一、基于项目学习的活动交互

联通主义学习的核心是交互.OMO实现了人与人之间、人与知识资源之间、知识资源与知识资源之间的交互.教师抛出任务后，学生寻求方法，推导结论，共享表达，根据学生所有想法迭代得到共同结论.

（一）呈现学习任务

教师设计主题任务和活动，促进学生开展项目学习.

由于线上学习资源量多、面广、碎片化严重等问题，在线学习中学生存在注意力不集中、学习目标性弱等现象，所以线上教学要注重对学习内容和过程的微型化，把一个探究内容细化为多个小的项目，这些小项目就是联通主义学习理论中的知识节点.《因式分解》这一课的内容，可以分解为如下项目：（1）复习整式的乘法，激活学生原有整式乘法的认知结构，延伸思考：整式相乘得到多项式，那么反过来，多项式能否化成整式的积？（2）基于经验寻找策略：要进行因式的分解，有什么经验可以借鉴，促使学生搜索相关经验？（回顾分解因数）（3）辨析概念；（4）如何根据因式分解的原理，找到因式分解的方法？（5）如何对因式分解进行拓展和变式到数与图形？（6）形成知识与连接方法的框图.

（二）选择联通方式生成想法

学生置身于学习情境中，面对具有挑战性的任务时，会根据自己原有的知识经验，以不同的角度进行思考.

（1）确定关联内容.网络环境充满着复杂、重复率高、分布式广的信息.学生在信息寻找和选择中，联想与之有关的内容.

（2）节点之间发生碰撞，形成节点连接.学生发现信息间的关联性，即为了保证内容和信息的流通，高效发现知识和促进知识的生长，发现资源、活动与个人需求之间的关系，并表现出与学习材料和概念深度交互的愿望.联通的机会越多，学生从方法、组织和系统设计中获益越多.比如，回顾由因式之积到多项式，反过来由多项式到因式之积；乘法公式逆过来得到因式分解，那么乘法的一系列性质逆过来，就是否得到了因式分解的所有类型？再比如，因式怎么分解？此问题用于回顾因数是怎么分解的.

（3）项目学习是探究问题的复杂联通.学生面对复杂、未知的问题，获取网络中的相应资源，思考并创造新的知识或形成问题的解决方案，形成自己的结论.但此时想法的可行性和全面性还不明确，需要建立连接和交流.

（三）讨论交流、形成知识框架

有了想法需要得到共鸣和验证，或者碰到困惑需要得到启发，于是进行交互活动.

通过提问与回答或其他方式参与网络对话，积累知识、方法与经验以及知识获取途径.

（1）学生出声思考及思维优化过程是一个互动并改进的过程.学生暴露知识生长、规律探究和方法提炼过程中的思维，即表达知识探究和思维发展的过程，同时也表达中间经过的挫折以及如何突破、脱离困境，澄清自己的思路，同时也提供和优化别人的思考路径.比如，因式分解的对象是谁？结果怎么样？从而明确因式分解后的每个因式都是整式的积形式.

（2）与其他同学联通产生新话题，通过深层次的互动形成问题的新认识，吸引新的参与者持续地互动.这是一个开放、动态生长和不断分化的过程.线上教学的优点在于——随时嵌入的互动，促使学生主动进入讨论区，同跨越课堂边界的更广泛人群进行互动，学生发明和创造的题目、方法可以直接以文本呈现在“交流区”，教师可以迅速搜索得到不同类型不同思维角度的学生生成的东西，并及时展示，带动其他学生思考和研究.

（3）项目学习中，对个人的思考过程和与学生的讨论过程中产生的新的知识和获取途径进行整理，包括知识的类型及获取途径等.框架开放，可扩展形成的知识网络结构，并对其整个知识的网络结构和每个知识节点进行评价，学生需要根据各个方面的意见再次对知识节点进行整理，形成思维导图.

（4）尝试提出问题.学生在交互过程中必然会析出问题，进而寻找节点，创新知识.比如因式分解有什么用处？怎么与其他知识联系起来？学生是学习内容的创造者，学生通过生长和创造学习内容，完成新知识的增长.同时学生通过创造内容与他人联通，为了增进连接，他们还需要给原始资源提供反馈，从而实现更新“因式分解”知识和方法网络.

二、基于创造的知识生长

连接建立不是对已有信息或资源的重复，而是创造，即生成新知识的过程.强调建立与已有节点之间的连接，实现知识的流通.

（一）基于关联创造新知

知识的生长性基于原始知识在交互中保持持续更新的状态而发挥新的作用.学生接触任务后会启动相关默会知识，检索和寻找的原材料，元素被筛选、评估和重组.比如：复习前一章整式乘法知识引出学生思考“因式分解”的概念.整式乘法主要涉及：单项式乘以多项式；多项式乘以多项式及特殊情况（多项式乘法公式）.列出整式乘法的这些式子结构，学生体验从左到右整式乘法的特征：由整式乘法得到多项式的结果；在此基础上，由学生观察从右到左式子的结构特征，类比6=2×3分解质因数，由学生对由多项式得到整式乘法结果的数学不同表达形式给以命名，由学生自己概括得到因式分解的概念.知识发生发展的路径如图1所示，由学生归纳得到因式分解概念；并由学生举出例子，辨析概念理解的边界；进一步由学生归纳出多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，是互逆过程，从而引导学生探索因式分解的方法.

图1

（二）生长知识获得方法

知识生长时学生把信息映射到现有知识与已有知识之间建立联系的活动中，进行模式识别，明确配备的要素和模型.

引出学生思考因式分解方法时，先提出大的主题任务：你能得到哪些因式分解方法？由学生自己尝试编题.将学生呈现的各种编题由学生进行归类和补充，根据学生陈述之所以这样编题的原因，从而引起学生发现：既然因式分解是整式乘法的逆运算，那么逆用整式乘法公式是否就可以找到因式分解的方法，还有整式乘法的探究方法和思路也可以提供因式分解探究的路径.逆用单项式与多项式相乘a（b+m）=ab+am，即是分配律的逆运算，得到因式分解ab+am=a（b+m）（提公因式法）；逆用多项式与多项式相乘（m+b）（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+ma+bn+ba，得到因式分解mn+ma+bn+ba=m（n+a）+b（n+a）=（m+b）（n+a）（分组分解法）；逆用整式乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，得到因式分解x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）（十字相乘法）；逆用整式乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，得到因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）（平方差公式）；逆用整式乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2，得到因式分解a2+2ab+b2=（a+b）2（完全平方公式）.思考路径如图2所示.

图2

引出因式分解的所有原形及其变式，由学生举出相应例子（在交流区），教师选择例子，由学生分类、求解并归纳出相应的特征.

很多教师在上课的时候会补充很多因式分解的方法和变式技巧，对学生而言犹如变魔术一般，增加学生学习负担和畏难情绪.实际上，基于因式分解的本质，逆用乘法运算的原理可以顺利而便捷地理解因式分解这些方法、缘起和思考路径.

（三）拓展延伸实现思维创新

联通主义学习强调在学习过程中创造新的节点.学生探索到因式分解的方法和意义，会思考它的应用价值.由学生尝试编题，促使学生思考变式的一般途径.

（1）在数字计算中，运用数学规律，往往有利于计算简便，所以这类题，学生可以顺畅地编出来.

（2）字母、整式、项数、次数的延伸.有整式乘法的经验，学生可以自发地在字母、整式、项数、次数等方面进行拓展，并自己展开验证，发现运算方法.

（3）图形的拓展.数形结合是学生学习任何一块内容后自然想到的一种意识.因式分解两项乘积或其他结果涉及平方项，则常常与面积直接相关，所以由几何图形的面积表示很容易得到整式乘法与因式分解的关联.把代数恒等式与平面图形结合起来，实现数结构与形结构的统一.如根据图形面积得到学过的整式乘法的乘法公式；或者根据两个图形的面积关系解释相应的乘法公式.

再比如，用如图3所示的正方形和长方形卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形.

图3

学生形成拓展的意识和一般方法：由数到式到图形得到的拓展；尝试把新知与其他知识结合，进一步为“分式运算；一元二次方程解法；二次函数与x轴交点”等新知识学习做好铺垫，完成知识的创造与生成的过程.

三、基于联通主义的方法形成

（一）探究因式分解的思考步骤和策略

学生联通关联知识，明确探究方法.如“把公共部分提出来”，会使学生联想到逆用分配律的运算，由学生讨论如何确定公因式，归纳得到了提公因式的方法和步骤：（1）确定应提取的公因式：系数是多项式各项系数的最大公因数；字母取多项式各项中都含有的相同字母的最低次数幂；当首项系数为负时，常提取负因数，在提取“－”号时，余下的各项都变号，形成添括号法则.（2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；把多项式写成这两个因式的积形式.（3）因式分解的结果一定是几个整式的乘积形式，多项式余下的各项不再含有公因式.

（二）形成知识结构习得探究方法

学生跟已有的显性化知识建立了比较深入的连接以后，要系统化梳理、表达、呈现和分享自己的观点；按照规则编码，节点和连接形成网络，确保知识的传输和意义的转换；归纳问题解决的一般方法，比如因式分解方法，如图4.

图4

（三）学习方法论的意义

整理的方法，形成框架结构，形成一以贯之的数学知识结构和一以贯之的数学学习方法——体现数学知识发展的过程.

学生探究新知过程中，形成一般的研究经验：基于已有知识推导出所学知识；基于已有方法找到新知规律；基于新知规律拓展；研究或学习什么内容，采用怎样的方式和探究组织形式；所学知识可以跟哪些内容结合、应用在什么地方，从而将新知纳入已有知识体系.依照这样的方法探究策略，学生可以自己探究新的知识，这对学生知识的学习具有方法论的意义.

四、基于评价反思的思维力发展

联通主义交互过程中，一个重要的环节是评价.在与他人持续的评价反馈中认知和情感不断交织，促进知识结构的生成和思维优化、完善.

（一）交流反馈优化思维

交流是学生暴露自己的思维、思维相互碰撞和逐步明晰问题思路的过程.教师可以通过对参与评论、留言、发表精华帖以及学生提出的问题数等统计数据探查学生的参与度和兴趣点，并及时对自己的教学活动进行修改，提高教学的针对性和课堂互动的有效性.

将学生优秀作品与评价发布到平台，供学生借鉴，取长补短；学生也可通过网络平台，通过在线提问、留言等方式，参与同学之间、师生之间的互动，听取师生建议，使学习更有针对性.

（二）评价学习效果

（1）量化评价.教师根据学习平台上学习行为记载情况，如在线学习时长、平时测试结果、师生互动频率等，记入平时成绩，实现教学过程的监控与评价；学生针对自我的学习情况对自己的学习能力、学习效果、组织协作能力给予评定；学生互评，通过群组学习讨论、团队分工合作，团队成员之间进行互评；思维导图优秀作品的贡献、优秀观点和思维角度、观点发言的积极性和提出问题、帮助别人纠正和改进策略等情况，实现教学效果过程与结果的综合评价.

（2）积极度.在教学开展过程和练习反馈中，教师首先进行诊断性和形成性评价，为学生创造一个宽松的氛围，注意合理表扬、发现闪光点，适当激励.创设相关的情境，鼓励学生主动分享和表达，同时关注学生在学习过程中存在的问题与障碍，及时加以解决并采取相应的干预措施.

（3）知识掌握程度.利用网络平台组织学生在规定的时间内完成规定内容的测试，评价学生的知识点掌握情况.适时地设置通关检测，如同学生经历电子游戏的通关过程，只有答对过关之后，才能继续下一环节，不少学生为此上瘾，欲罢不能.

（4）反思和提升.学生建立内部认知网络与外部知识网络之间的连接，以及实践之间连接的过程.在个体的反思总结的基础上实现集体反思总结.

平台提供学生对教师的授课以及网络平台答疑、管理的满意度等总体质量测评功能，教师可以根据测评进一步反思.

（5）学生提交自己的作品.

（三）生成问题反思跟进

教师根据不同学生的学习情况，分别推送不同的课外任务，或者建立在线题库，学生自行调取题目练习，随后由系统打分保存.教师根据每个学生数据生成知识问题清单，掌握学生的问题和薄弱环节，对学生进行一对一、一对多的帮扶策略和针对性攻破，帮助学生进行全面的知识巩固和任务解决、获得能力.

教师和其他学生通过作品后的“评论与回复”功能就学生所提交作品展开评价与探讨，实现交互功能.□◢