以教师资格考试为导向的数学分析教学实践

邱克娥，汪少祖，陶 磊

(1.贵州师范学院 数学与大数据学院，贵州 贵阳 550018；2.广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006)

数学分析是高等师范院校数学与应用数学专业的基础核心课程，具有内容较多，课堂教学周期最长，逻辑连贯性较强，应用较为广泛等特点。它的教学力求使学生逐步理解和掌握无限、变量的数学思想，逐步适应从定性描述到定量刻画的过程，培养学生逻辑思维能力，推理运算能力，分析和解决实际问题的能力。教师资格制度是国家实行的教师职业从业许可制度，拥有教师资格是国家对专门从事教育教学工作人员的基本要求，是公民获得教师职位的前提条件。[1]中小学教师资格证考试是由国家建立考试标准，省级教育行政部门统一组织，实行“国标、省考”的标准参照性考试，考查范围广，题目活，难度大。国考教师资格证的《数学学科知识与教学能力》科目主要考查学生学科知识、课程知识、教学知识和教学技能四个方面的知识内容，其中学科知识占比41%，且数学分析是其中分值最大的部分。这对高校数学专业的数学分析教学质量提出了新的要求，要求教师必须有效规划课堂教学内容，做到有的放矢，确保教师资格证考试的过关率。然而，在数学分析课程传统的教学模式中，教学过程由教师主导，教师通常把已有的理论知识通过证明及例题直接讲授给学生，侧重于理论知识的诠释及证明，学生在学习过程中处于“要我学”的被动状态，由于理论知识难，学习难度大，即使部分学生可以听懂，但要转化为自己的思维方式解决问题却有些困难，一定程度上抑制了学生学习的自主性和积极性。为了顺应高校师范专业发展的需要和满足社会对教师的需求量，课题组经过教学改革尝试，以教师资格证考试为导向建立数学分析知识题库，采用问题导向的教学方法，并贯穿于整个理论和实践教学过程，不仅做到课证融合，提高教师资格证通过率，还对培养学生的自主探索能力和创新能力起到理想的作用。

1 基于教师资格证考试的数学分析教学存在的问题

2020年数学学科高级中学教师资格证考试科目《数学学科知识与教学能力》考试目标明确要求学生掌握大学本科数学专业基础课程的知识，并具有在高中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。[2]大学本科数学专业基础课程的知识包括数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等与中学数学密切相关的内容。而数学分析包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分学等基础知识，是《数学学科知识与教学能力》试题的重中之重，考试主要以单项选择题、解答题为主。考纲明确要求学生准确掌握上述知识内容的基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题，具体对数学分析考点的要求是掌握数列极限与函数极限的定义、求极限的方法、会判断函数间断点，求解定积分与不定积分，能够应用微积分学基本定理求解问题。在实际的教学过程中发现，要达到上述考试要求，必须探讨相应的教学方法以实现对已有教学方法的延续及改进。现有的数学分析教学存在些问题，具体表现在：

(1)数学分析知识点较多，内容相对抽象，斜街关系较强。通常学生从数列极限的“ε-N”语言与函数极限的“ε-δ”语言开始学习，到曲面积分的计算结束，累计学习4个学期。整个知识学习的过程中都渗透着极限的思想，若对“ε-N”和“ε-δ”语言理解不好，直接影响后续所有知识的学习。同时一元函数的微积分与二元函数微积分，二重积分与三重积分，曲线与曲面积分等知识之间的逻辑衔接性都较强，对任何知识点掌握的薄弱，都将成为继续学习的障碍。

(2)课堂教学方法及评测结构单一。传统的数学分析教学主要是教师主导，教师将理论知识通过证明及例题直接讲授给学生，学生将课堂测试及课后练习上交教师批阅，教师再将学习结果反馈给学生。由于学生个体的理解能力，知识结构，学习方法等差异性，传统的教学方式对能力中等的学生较为有利，难以兼顾到学生不同层次的差异，一定程度上抑制了学生学习的自主性和积极性。同时，统一的评测方式由于其标准化程度较高，导致教师对学生的行为表现所代表的具体信息判断不够准确，从而影响教师的教学策略调整。

如何有效地针对内容较多，课堂教学及评测结构单一等问题实施改进，是数学分析教学改革的重点也是难点。近几年来，课题组成员借助无限校园环境，以教师资格考试为导向建立知识题库，通过雨课堂教学软件推送知识内容并检测学习效果，并将学习效果进行反馈，根据反馈结果动态调整教学策略，达到对数学分析教学存在的问题进行改进的目的。

2 以教师资格考试为导向的数学分析教学改革

2.1 以教师资格考试为导向的理论教学改革

教师资格证考试中的学科知识题目不仅专业性强、覆盖面广(数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计)，而且具有针对性、实用性、创新性。在数学分析课程的理论教学改革中，主要从教师备课、授课方式及考核方式等三方面进行。备课时教师结合教师资格证考试大纲及数学分析教学大纲采用集体备课形式，所有成员时时关注数学分析知识点与教师资格证考点之间的密切联系，针对每个知识点结合相应的教师资格证考试中的数学分析考点问题，如果知识太难可遵循教师资格证考试的出题原则设计问题，构建权威知识图谱，形成容量较大的试题库，题库中对题目的难易程度进行区分，形成阶梯性。在讲授理论知识前将题库中对应教学内容的题目以问题串的形式通过雨课件推送给学生，实现教师授课前的资源智能推送，促使学生寻求解题的方法及所需理论知识，尝试解决问题。在课堂教学实施中，把握重点，做到难点精讲，注重学生知识掌握情况的实时监控，利用雨课堂的随机点名方式及回答情况查看学生的掌握情况，即时动态调整教学策略，还可以开启“弹幕”“红包”等功能调节课堂气氛，激发学生的积极性。同时课堂上学生的疑问也能通过雨课堂软件收集，使得教师和学生零距离沟通，缓解学生在讨论中的发言压力,这种匿名活跃的方式，彻底抓住现在学生的心态，激发师生课堂兴趣，助力教学效果的提高。这样通过雨课堂教学软件以一种动态的视角来观测学生的学习状态、学习进度及知识掌握程度，实现师生教与学行为的实时数据采集和个性分析，把课堂和学生的行为、一些难点的讲解通过数据分析的方式生成评测报告。课堂教学结束后，教师拿到测评报告，有针对性地进行下次课的教学策略调整，将精彩的学生答题情况及典型的犯错情况推送到班级，让同学们对自己和他人的学习状况认识更加清晰。同时，通过测评报告中学生题目的难易程度、答题时间、正确率等信息，从题库中选择适合学生水平的课后检测试题推送到个人，学生也可通过自己的评测报告查缺补漏，制定适合个人的学习目标和计划，使得教与学更精准地执行，将教学活动变成“困惑——探索——掌握”的问题解决过程，变传统的“听中学”为“做中学”，促进教学相长。最终考核成绩按照课前测试、课中测评、课后检测、期末考试及教师资格证《数学学科知识与教学能力》等成绩计算加权分值得到。

2.2 以教师资格考试为导向的实操教学改革

为了提升数学分析的教学效果，从而促进教师资格证考试，实操教学是不可或缺的。实操教学主要从小组合作学习和个人模拟考试两方面进行。首先将班级成员随机搭配分组，每小组不多于5人，根据成员的情况合理分配学习任务(试题收集、知识梳理、试题批改、数据分析、策略调整)，同时可寻找组外其他同学辅助指导学习，形成传帮带的学习梯队。课题组教师将所收集到的试题进行分类分级处理，录入题库，随机设置组卷策略，形成试卷，通过雨课堂软件推送给学生个人，学生运用所学知识及时解决，该过程严格按照教师资格证考试的进行方式，学生在规定的时间内完成答题，把每次训练当成一次考试，根据学生完成情况、答题时间及排名等评定平时成绩。学生可根据自己每次得分情况向小组提出再次答题申请，小组提交5个与题库试题不同的习题作为申请条件，由教师审核是否给予答题机会，并按照得分最高的一次记录成绩，这将使学生重视每次模拟训练机会，对于提高学生运用所学知识解决实际问题的能力、独立思考及团队合作能力有很大帮助。同时通过雨课堂软件查看学生的测评报告，及时调整组卷策略及为学生量身定制个性化的学习方案，达到针对学生个体差异的因人施教，真正实现“随时学习，教师随行”，切实提高教师资格证考试的通过率，践行数学与应用数学专业培养方案中要求培养学生四年内成为“愿教、懂教、会教”的优秀教师的目标。同时可以鼓励、引导学生积极参加教师资格证统一考试，通过不断的模拟训练检验自己。在每次模拟训练及实战考试后，学生团队合作撰写总结报告，全专业每年7月集中汇报交流，分享得与失，使得同学们对备考及自身情况有更深入的了解。因为教师资格证统一考试的内容不断深入，考试形式灵活，所以过关难度大，对教师也是考验，每年可先组织相关教师研讨最新国家教师资格考试大纲及最新课程标准，严格遵循考试大纲及课程标准的要求，力争在上课过程中最大限度地贴近考情。参加研讨学习的教师再分别指导各小组学生，对学生集中培训，强化知识运用能力，增强师生教学默契，教学相长，提高团队实战能力。

2.3 以教师资格考试为导向的教学实践过程

现以含参变量的有限积分教学为例，呈现以教师资格考试为导向的教学实践过程。虽然含参变量的有限积分知识不在教师资格证考试内容规定范围内，但是按照数学分析教学大纲要求，该知识也是教学的重难点，教学时数高达5学时。同时，这也是要成为一名合格的高中数学教师必须具备系统的数学学科知识的需要。

课前准备：题库建立。

(1)证明：由f(x)在[a,b]上连续，则∀ε>0,∃δ>0,当0<|x-x0|<δ，有|f(x)-f(x0)|<ε，其中

故F(x)在[a,b]可导，且F′(x)=f(x).

对于上述考题，可针对其考点连续及可导的相关知识点，做一些相应的变式题(这里选取部分)，编入数学分析试题库中，课前或课后推送给学生，学生为了有针对性地解决问题，必然进行课前预习或课后巩固，查找资料，解决问题，切实做到“我要学”。

原题是对一元函数微分学的连续及可导知识点的检测，变式1是对一元可积函数连续性质的检测。众所周知，连接一元函数积分与微分的桥梁是牛顿-莱布尼茨公式，其表达如下：

从而该原题和两个变式既可放在一元函数微分学，也可纳入一元函数积分学题库中，两者互有承上启下之效果。为了能让学生学会举一反三且对多元函数微积分学及反常积分与含参变量的积分的知识做个铺垫，对该题还可继续变式如下：

其实，变式4即为含参变量的有限积分的分析性质，也是课堂教学的重点。在上课之前教师利用雨课堂软件将变式1推送给学生，让学生查找相关资料解决，若学生不能解答，教师则在课堂中予以详细讲解。事实上，推送变式1的目的一方面在于利用教师资格考试的问题激发学生的学习动力，让学生复习一元函数微积分学的相关知识，新课讲授在学生欲解决问题下进行效果更佳。另一方面，教师展示学生答题情况的差异，并分析讲解对与错的缘由，不仅可以让同学们更好地了解自己和他人的差别，还可以为新课内容的讲解做好铺垫。

课中讲授：含参变量的有限积分的三个性质。

新课的讲授并不改变传统的课堂教学模式，以解决学生的疑问引入，根据学生课前测试的结果，分析学生错误的原因，为新课做铺垫。这里列举学生1对变式1的解答情况。

学生1 因为f(x)在[a,b]可积，所以f(x)在[a,b]上有界，所以存在M>0,∀x∈[a,b]，有|f(x)|

因为f(x)在[a,b]可积，所以f(x)在[a,b]上有界，即存在M>0,对∀x∈[a,b]，有|f(x)|

课后巩固：试题及优秀课件视频推送。

将17年教师资格证考试的原题及一些涉及函数连续性的试题课后根据学生的水平推送给学生，学生若能独立解决问题更好，如若不能，还可以查看推送的优秀教学课件视频、教师课堂板书、小组合作讨论等。教师从学生课前、课中、课后的学习表现及评测报告了解学生薄弱点，适时调整教学策略，且将报告及时反馈学生个人及小组，利于学生查缺补漏，调整个人学习目标及计划。课前、课中、课后三个层面以教师资格考试为导向的教学实践将形成良性循环，一方面促进学生的自主学习，小组合作学习，改进班级教学；另一方面，学生对自己的学习目标及学习情况有更准确地把握，促进教学相长。另外，每章节学习结束后，教师根据学生学习情况设置适合学生个人测试的评测试卷，推送给学生自测，该过程严格按照教师资格考试的模式进行。同时，学生也可在难度上给教师提出申请调整。这样的检测异于传统的采用相同题目对学生进行学习评价，提高学生学习的自主性，合力提高教师资格考试的过关率。

3 以教师资格考试为导向的其他方面改革方向

除了调整课堂教学方法及考核方法外，教师还可从考前辅导、题库完善、评测系统开发等方向改革教学。首先，可加强学生对教师资格证考试的认识与了解，定期从中小学聘请一线知名专家到校开展专题讲座，为学生解答考试真题的命题规律、考试技巧等，丰富学生业余文化生活的同时有助于提高考试的通过率。同时，给各小组分配辅导教师，形成个人-小组-教师的有效辅导及合作交流学习模式。其次，完善以教师资格考试为导向的数学分析题库，要关注数学分析与中学数学教学及解题相关的知识联系，如根据泰勒公式、函数凹凸性与中学“二分法”、极值与最值、函数单调性等之间的相关关系设计题目，使得题库与中学数学紧密联系，帮助学生明确学习目的，全面系统地掌握数学专业知识，符合数学与应用数学专业师范性的培养目标要求。最后，在完善题库建设的基础上，构建自适应评测系统。现在的检测主要依靠教师根据雨课堂软件给出的评测报告，手动调整符合学生能力水平的检测试题，同时教师也需要手动批改试题，这样的工作较为烦琐且评测结果具有一定的主观性。为了突破这样的局限，可构建自适应评测系统[5]，系统可根据学生的答题情况自动推送适合其水平的试题，自动检测学生的学习效果，减轻教师的工作量，具有推广到其他学科应用的价值。

4 结语

以雨课堂教学软件为工具从内容安排、教学方法及评测方式三方面对数学分析课程进行教学改革，旨在让学生掌握数学专业知识，提升教师资格证考试过关率，增加学生就业路径，实现人才培养的最终目标。当然，教学改革不是一蹴而就的，涉及的方向是多方面的，是一个长期的过程，只有在实际教学中不断地深化才能持续提升教学水平，提高教学效率，为学生提供更好的教学服务。