“动态圆”给力 挖出临界特征

江苏 王永昌

带电粒子在匀强磁场中的临界问题是历年高考的热点，也是难点。这类运动往往在临界情景方向出题，临界情景体现为粒子运动轨迹和磁场边界间的关系，所以分析出粒子运动轨迹和磁场边界间的关系是解决此类问题的关键。在解题时采用作“动态圆”的方法，往往可以较快地挖掘出临界特征，下面就进入磁场的带电粒子的不同情况来说明用“动态圆”挖掘临界情景的应用。

一、“旋转的动态圆”给力，挖出速度大小不变而方向不断改变的带电粒子在磁场中运动的临界特征

图1

【例1】如图2所示，S为电子射线源，该电子射线源能在图示纸面360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带-e的电子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS=L，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场。

(1)若电子的发射速率为v0，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B的条件？

(2)若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达挡板，则电子的发射速率多大？

图2

【解析】电子从点S发出后受到洛伦兹力作用在纸面上做匀速圆周运动，由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一组动态圆，动态圆的每一个圆都是顺时针旋转，如图3所示。

图3

图4

【点评】当进入磁场的带电粒子速度大小确定而方向不确定时，先利用“旋转的动态圆”寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。

二、“膨胀的动态圆”给力，挖出速度方向不变而大小不断变化的带电粒子在磁场中运动的临界特征

如图5所示，一束带负电的粒子以初速度v垂直进入匀强磁场，若初速度v的方向相同，大小不同，所有带电粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上，速度增大，轨道半径随着增大，所有粒子的运动轨迹组成一组“膨胀的动态圆”。解决这类问题时，必须注意圆周运动中的对称规律，按找圆心，画轨迹，再利用几何关系求半径的基本思路进行。

图5

【例2】如图6所示，真空中宽为d的区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度v0垂直射入磁场中。要使粒子能从EF射出，则初速度v0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？

图6

【解析】作出一组“膨胀的动态圆”，如图7所示，当入射速度较小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大；当轨道与边界相切时，电子恰好不能从右边界射出；当速率大于这个临界值时，电子可从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值。对于射出区域，只要找出上下边界即可。粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力做匀速圆周运动，要使粒子能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹，如图8所示，作出A、P点速度的垂线相交于O′，即为该临界轨迹的圆心。

图7

图8

由几何关系可知R0+R0cosθ=d

则临界半径为

故粒子能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0

【点评】带电粒子在磁场中以大小不等的速度运动时，圆周运动的半径随着速度大小的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“膨胀的动态圆”探索出临界点的轨迹，使问题得解。对于范围型问题，求解时关键为寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。

三、“膨胀的动态圆”给力，挖出速度不变而质量不断变化的带电粒子在磁场中运动的临界特征

【例3】如图9所示，左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U，两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面向里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入平行金属板之间，沿同一方向射出平行金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力。

图9

(1)已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。

图10

图11

图12

【点评】带电粒子速度大小及方向不变，但带电粒子的质量不确定，这类情形可等价于带电粒子速度方向不变、大小改变的情形处理，采用“膨胀的动态圆”探索临界情况，使问题得到解决。

四、“既胀又旋的动态圆”给力，挖出速度大小和方向均变化的带电粒子在磁场中运动的临界特征

图13

图14

图15

【点评】本题也属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键。要使所有粒子都不穿越磁场，应保证沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁场，即运动轨迹与内、外圆均相切。