高考几何光学中的常见模型分析

甘肃 张金龙 田生杰

光在玻璃砖中的折射和反射问题是高中物理光学部分的重点，也是高考考查的热点，题型多以计算题的形式出现。这部分内容的难点是将光学问题与数学知识结合，体现了物理核心素养中的模型构建、科学推理及科学论证，要求学生能够根据问题情景建立模型，运用全反射定律、折射定律和数学知识处理物理等问题。涉及的数学内容包括圆的知识、三角形知识、三角函数和正余弦定理等。

一、解题要点

1.求解光的折射、全反射问题的五点提醒

(1)光从一种介质斜射到另一种介质的分界面时同时发生折射和反射，如果光从光疏介质斜射入光密介质，则折射角小于入射角；如果光从光密介质斜射入光疏介质，则折射角大于入射角。

(2)光密介质和光疏介质是相对而言的。同一种介质，相对于其他不同的介质，可能是光密介质，也可能是光疏介质。

(3)如果光线是从光疏介质射入光密介质，则无论入射角多大，都不会发生全反射现象。

(4)折射现象中，光路是可逆的；光的反射和全反射现象，均遵循光的反射定律，光路均是可逆的。

(5)当光斜射到两种介质的界面上时，往往同时发生光的折射和反射现象，但在全反射现象中，只发生反射，不发生折射。

2.应用光的折射定律解题的一般思路

(1)根据入射角、折射角及反射角之间的关系，作出完整的光路图，注意入射角和折射角均以法线为标准。

(2)充分利用光路图中的几何关系，确定各角之间的关系，根据折射定律求解相关的物理量。

(3)注意在折射现象中，光路是可逆的。

3.解决全反射问题的一般步骤

(1)确定光是从光密介质射入光疏介质。

(3)根据题设条件，判断光在传播时是否发生全反射。

(4)如果发生全反射，画出入射角等于临界角时的临界光路图。

(5)运用几何关系、三角函数关系以及反射定律等进行分析、判断及运算来解决问题。

4.求解全反射现象中，光传播时间问题的注意事项

(2)全反射现象中，光的传播路程l应结合光路图和几何关系进行确定。

二、光的折射、全反射模型分析

模型一 平行玻璃砖模型

平行玻璃砖模型是指两个侧面相互平行的玻璃砖或同种均匀介质，光路特点及对光线的作用如图1所示，通过平行玻璃砖的光线不改变传播方向，但要发生侧移。

图1

【注意】(1)侧移距离的大小d与介质的折射率n、介质的厚度h及入射角θ1的大小等有关。

(2)根据光在折射过程中光路可逆，上述过程不可能发生全反射。

(3)应用本模型可以测定玻璃等介质的折射率。

【例1】如图2所示，AB、CD分别是置于空气中厚玻璃砖的上、下两个表面，且AB∥CD，光线经AB表面射向玻璃砖，当折射光线射到CD表面上时，下列说法中正确的是

( )

①不可能发生全反射 ②只要适当增大入射角θ1，就可能在CD面上发生全反射 ③只要玻璃砖足够厚，就可能在CD面上发生全反射 ④由于不知道玻璃的折射率，故无法判断是否能在CD面发生全反射

图2

A.① B.②③ C.②③④ D.④

图3

故折射光线O1O2在CD面上不能发生全反射，选项A正确。

【点评】本题考查光在平行玻璃砖中的传播问题，根据折射定律和反射定律正确作出光路图，再结合全反射的条件分析即可得出结果。当然本题也可直接利用模型一注意中第(2)条结论，光线通过平行玻璃砖的两个平行侧面过程中不可能发生全反射。

模型二 三角形玻璃砖模型

三角形玻璃砖模型(也称三棱镜)是指横截面为三角形的玻璃砖，其横截面可分为：一般三角形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形等多种。光路特点及对光线的作用如图4所示，通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底边偏折。

图4

【注意】(1)调整入射角，光线在AC面的出射方向会改变，可能在AC面上发生全反射。

(2)两种特殊入射方向①光线平行于BC边入射；②光线垂直于AB边入射。两种情况光线在其他面上可能发生全反射。

(3)利用直角三角形或等腰三角形可制成全反射棱镜，改变光的传播方向。

【例2】如图5所示，直角三角形ABC为一棱镜的横截面，∠A=90°，∠B=30°。一束光平行于底边BC射到AB边上并进入棱镜，然后垂直于AC边射出。求：(1)棱镜的折射率；(2)保持AB边上的入射点不变，逐渐减小入射角，直到BC边上恰好有光射出，求此时AB边上入射角的正弦值。

图5

【解析】(1)光路图及相关量如图6所示。

图6

由几何关系和反射定律得β=β′=30°

由几何关系得C=α′+30°

【点评】1.本题是一道典型的直角三角形棱镜模型问题，第一问根据光线沿平行三棱镜的一个面这个特殊的方向射入棱镜，求解折射率，第二问通过改变入射光的方向实现了在BC边恰好发生全反射的临界状态。

2.题目考查光的折射定律和全反射定律，正确解题的关键是能够准确作出光路图，注意入射角、折射角均以法线为标准。

3.根据几何关系寻找角度之间的关系，灵活运用数学公式sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ是快速求解的保证。

模型三 半球形(球形)或半圆形(圆形)玻璃砖模型

半圆形(球形)玻璃砖模型是指横截面为半圆形的玻璃砖，光路特点及对光线的作用如图7所示。

【注意】(1)光线沿球面斜射入，法线是过圆心的直线，经过两次折射后向圆心方向偏折，由圆的几何特性及光路可逆可知，光路不可能发生全反射现象，如图7所示。

图7

(2)光线沿半径方向从球面射入，光线必经过球心，在直径面上有可能发生全反射，如图8所示；

图8

(3)光线沿与半球形直径面垂直方向射入，由于入射点不同，在球面上可能发生全反射，法线为此点与球心的连线，如图9所示。

(4)如果入射光线过半球形直径面圆心，则折射光线必沿半球体半径方向出射，如图9所示。

图9

图10

图11

在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时，光路图如图12所示。设此时光线入射点为E，折射光线射到玻璃体球面的D点。由题意可知∠EDO=C。

图12

【点评】1.本题是典型的半球体模型问题，考查光的折射定律和全反射定律，难度适中。

2.题目描述的情景是入射光线过半球形直径面圆心，同上文模型三中注意(4)，折射光线必沿半球体半径方向出射的情况，当入射光线向左平移后，在半球面上发生全反射现象。

4.光线从半球体直径面射入时，法线与直径面垂直，光线射到半球体球面处时，法线过圆心沿半径方向。

模型四 圆柱体模型

如图13所示为圆柱体模型的横截面图，法线为过柱心的直线，如果光线垂直于圆柱体中心轴线沿半径方向射入，则光线通过柱心不改变传播方向；如图14所示，如果光线以其他入射角沿截面射入圆柱体，光线向靠近柱心方向偏折；如图15所示，如果光线垂直于圆柱体横截面(沿圆柱体中心轴线方向)射入，则沿直线继续传播；如图16所示，如果光线以其他角度射入圆柱体横截面，则在横截面处发生折射现象，在圆柱体内壁处可能发生全反射现象。

图13

图14

图16

【例4】如图17所示为一光导纤维(可简化为一长玻璃丝柱体)的示意图，玻璃丝长为L，折射率为n，AB代表端面。已知光在真空中的传播速度为c。求：(1)为使光线能从玻璃丝的AB端面传播到另一端面，求光线在端面AB上的入射角应满足的条件；(2)光线从玻璃丝的AB端面传播到另一端面所需的最长时间。

图17

图18

光速在玻璃丝轴线上的分量为vx=vsinα

【点评】1.本题是一道非常典型的光在均匀介质中传播的实际应用问题，属于圆柱体模型问题，考查光的折射定律、反射定律及全反射知识，考查应用数学知识处理物理问题的能力，难度适中。

2.解答本题须了解要使光线能够在玻璃丝中传播，光线在玻璃丝内壁处能够发生全反射，入射角应大于等于临界角。

模型五 其他不规则形状的模型

高考几何光学考题中不仅考查光在以上常见模型(介质均匀，形状规则)中的传播，还可能涉及其他模型(介质均匀，形状不规则)。无论什么形状的介质，光线传播都遵循光的反射定律和折射定律，正确作出光路图是解决问题的前提。

【例5】宝石因特殊的材质和独特的形状而闪闪发光，打磨某剖面如图19所示的宝石时，必须将OP、OQ边与轴线的夹角θ切割在θ1<θ<θ2的范围内，才能使从MN边垂直入射的光线在OP边和OQ边都发生全反射(仅考虑如图19所示的光线第一次射到OP边并反射到OQ边后射向MN边的情况)，则下列判断正确的是

( )

图19

A.若θ>θ2，光线一定在OP边发生全反射

B.若θ>θ2，光线会从OQ边射出

C.若θ1<45°<θ2且θ=45°，最终的出射光线将平行于入射光线

D.若θ<θ1，光线会在OP边发生全反射

若θ1<45°<θ2且θ=45°，由几何关系可知光线在OP、OQ边会发生全反射，垂直MN射出，即出射光线将平行于入射光线，选项C正确。

模型六 涉及长度、面积等照射范围问题

涉及长度、面积等照射范围的光学问题在高考中经常会出现，解题关键是运用动态的思维方式思考，确定临界位置，在此基础上确定光的传播范围。

图21

【点评】1.本题第(2)问要确定在桌面上形成的光斑面积，属于确定照射范围类问题，难度适中。

2.光束沿中心轴射入玻璃圆锥表面，进入玻璃发生折射现象，正确作出光路图；确定边界光线是解决本题的关键所在。

3.注意结合对称性和几何知识分析求解。

三、总结