旋转位似“似”成双 定点定形“轨”一致

郭源源

摘    要：轨迹法是解决最值问题的重要方法.图形在绕定点作旋转加位似变换时，对应点的轨迹形状呈现一致性.这种旋转位似确定轨迹的方法，通过原理介绍和结论证明，揭示旋转位似变换中的性质和规律，并以“转移位置”“内嵌面积”“最值线段”三个方面的应用，让学生在问题分析中学会用运动变换的视角看问题，感悟到“定点加定形，轨迹形一致”的图形认识.

关键词：旋转位似;定点定形;轨迹

初中几何中，由图形运动而产生的最值问题历来是学生解题的难点，究其原因是图形一直在变化，学生无法捕捉到运动变化背后“不变”的元素，难以分析出最值时的位置，也就无法从具体图形上分析求解.动态问题解题的关键在于动中寻找定的量，再由这些定量探寻出动点形成的轨迹，从而根据轨迹分析出最值位置，即“由动寻定，由定定轨，由轨求最” [1].因初中知识的局限性，初中的动点轨迹以圆和直线轨迹为主，而确定轨迹的方法通常有两种：其一，由“定点对定长”，依据圆定义确定轨迹，或者由“定弦对定角”依据圆周角定理确定圆轨迹;其二，旋转位似变换，因绕定点变换过程中，图形形状始终不变，故可由一个动点的轨迹，确定其他动点的轨迹，即“定点定形轨一致”.相比之下，后者的原理更加隐蔽灵活.本文就以旋转位似变换为例，介绍这类变换所蕴含的性质及在解题中的运用，与大家交流分享.

一、旋转位似变换介绍

旋转位似变换是指一个图形绕一定点作旋转变换的同时，也作位似变换;它是旋转变换和位似变换的复合变换，此时的旋转中心和位似中心相重合.

【结论】若一个图形绕一个定点作旋转位似变换，则图形上所有点的运动轨迹呈现形状一致性，且任意两点运动的路径长之比等于它们到旋转位似中心的距离之比.其中：

（1）若一个点的轨迹是直线，则另一点轨迹也一定是直线，且两直线夹角与这两点和旋转位似中心组成的夹角相等或互补，即如图1，点B的轨迹l和点C的轨迹l′的夹角与∠BAC相等或互补;

（2） 若一个点的轨迹是圆，则另一点轨迹也一定是圆，且两圆心和旋转位似中心组成的夹角与这两点和旋转位似中心组成的夹角相等，两圆心到旋转位似中心的距离之比等于这两点到旋转位似中心的距离之比，即如图2，∠OAO′=∠BAC， [OAO′A]=[BABC].

【证明】

（1） 如图1，当点B在直线l上运动，由旋转和位似的性质可得：△ABC △AB′C′， 进一步可证△BAB′△CAC′，得[BB′CC′]=[ABAC]和∠ACC′=∠ABB′，再由四边形内角和和邻补角易证∠α=∠BAC为一定值，故C点在与∠α=∠BAC的直线l′上运动.

（2） 如图2，当点B在⊙O上运动时，作点O′使△BAC△OAO′，进一步可证△ABO△ACO′，得[OBO′C]=[ABAC]=k.由k和OB为定值，可推出O′C始终也为定值，故点C在以O′为圆心的圆上运动，且⊙O和⊙O′的半径之比等于k.

【评注】这种图形运动的实质是旋转和位似，因为旋转中心和位似中心重合，过程中具备“定点加定形”，所以始终存在两对相似三角形，即“双相似”.由双相似致使角的等量关系和边的比例关系一直存在，所以AB以一种关系在变化，AC就以同样的关系在变化，即轨迹形状呈现一致性.所有轨迹中，直线和圆的轨迹最为常见，其他轨迹证法亦是同理.

二、旋转位似变换应用

（一）保“形”不变，调整图形位置

例1   如图3，平面上有任意三条不等距的平行线，使用尺规做出一个等边三角形，要求三角形的三个顶点分别在这三条平行线上.

【分析】借助特殊到一般的思想，等边三角形三个顶点都位于三条平行线上若作不出，那思考两个顶点呢？两个顶点位于两条平行线上的等边三角形很容易做出且有无数种，如△ABC.接下來就是在保证等边的前提下转移图形位置，利用旋转位似变换由点B在直线l3上的运动，可确定点C的直线轨迹，当点C运动到l2上时就是等边三角形的目标位置.

【作法】限于篇幅，只写作法思路，如图3.

1.在l1和l2上任取两点A和B，作等边三角形ABC.

2.作射线CE，使得∠ACE=∠ABD，交l2于点C′.

3.连接AC′，以AC′为边作等边三角形AB′C′.

△AB′C′即为所求.

【评注】因等边三角形的旋转位似，所以有△ABB′△ACC′，故第3步确定点B′的做法还可以是在l3截取BB′=CC′或者是作射线AB′，使得∠C′AB′=∠CAB，交l3于点B′.此题的等边三角形还可以变式为等腰直角三角形或其他特殊三角形，作法思路都是先构造再调整，即借助旋转位似变换，在保证形状不变的前提下，调整图形位置.

变式1   如图4，∠AOB的内部有一点P，使用尺规作等腰直角三角形PCD，要求点C、D分别在射线OB、OA上，∠PCD=90°.

【分析】易构造出等腰直角三角形PC′D′，借助旋转位似变换，当点C′在射线C′O上运动时，点D′也一定在射线D′E上运动，且∠PD′E=∠PC′O=90°.这样D′E与OA的交点即为点D的位置，点D确定则点C随之确定.

【作法】

1.作等腰直角三角形PC′D′，如图4.