棋盘上的勾股定理

申艳

勾股定理是人类早期发现并证明的一个重要数学定理，它也是用代数思想解决几何问题的重要工具.勾股定理不仅非常著名，而且有着巨大的实用价值，是出镜率极高的几何“明星”，下面，我们一起来看看在棋盘上如何运用勾股定理解决问题.

例1 （2018年一台湾）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在如图1所示的5x5的方格棋盘上从A点行走至B点，每个小方格皆为边长为1的正方形.主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图1与表l所示，

已知A，B，C，D，E，F，G七点皆落在格线的交点（即格点）上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1，R2，R3三条路径中，最长与最短的路径分别为哪条.写出你的答案，并说明理由，

分析：网格中隐含直角，运用勾股定理可以求出任何一条以格点为端点的线段的长度.

易知R3

∴ 路径R3 （A→G→B）最短，路径R2（A→E→D→F→B）最长.

例2（2017年·浙江）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，从一个格点移动到与之相距√5的另一个格点的运动称为一次跳马变换.例如，在4x4的正方形网格图形中（图2），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，G，D，E等处，现有20x20的正方形网格图形（图3），则从该正方形网格的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点Ⅳ处，最少需要跳马变换的次数是多少次？

分析：由顶点M跳到顶点Ⅳ，需尽可能减少路线中的曲折，且尽量沿直线肘Ⅳ（对角线）进行跳马交换.据此，可以发现图4所示的路线路程最短：

①M→B→C→D→ N;

②M→B1→C1→D1→N;

④M→B1→E→D1→N。

再利用勾股定理計算最短路线的长，用最短路线的长除以√5就是最少需要跳马交换的次数，