“算两次”思想的妙用

葛岫红

在数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立起等量关系.我们把这种思想称为“算两次”.“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想，下面以“算两次”面积为例，说明这种数学思想的妙用.

一、求线段的长度

例1（2019年·天津）如图1，正方形纸片ABCD的边长为12.E是边CD上的一点，连接AE.折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF点F在AD上.若DE=5.则GE的长为____.

解：由折叠及轴对称的性质可知△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG.故BF⊥AE.所以∠AFH= ∠A ED（均与∠DAE互余），则△ABF≌△DAE（角角边），AF=DE=5.

∴AG：2AH=120/13

∵ AE=BF=13.

∴ GE=AE-AG=49/13.

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二、推导乘法公式

例2 图2是由边长为a和6的两个正方形组成的.通过用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是_____

点评：这里，通过“算两次”阴影部分的面积得到了等量关系.

三、求线段的和差

例3 如图4，在长方形ABCD中，AB=3，AD=4.P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F则PE+PF的值是（ ）.

A. 12/5

B.25

C.5/2

D. 13/5

练习

1.如图6，在◇ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD 于点F.若AE=4，AF=6，◇A BCD的周长为40.求oABCD的面积.

2.如图7，在△ABC中，AB=AC.点D是BC上的任一点.DE⊥AB，DF ⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，G.

求证：DE+DF=BG.

（答案在本期找）