季慧
[摘 要] 图形折叠是中考数学的难点问题,其中涉及众多几何特性和数学规律,在解析时需要采用合理的方法策略来构建思路.文章以2019年中考的折叠问题为例,探讨折叠问题常用的四种突破策略,并提出相应的教学建议,与读者交流.
[关键词] 几何折叠;折叠问题;全等;轴对称
图形折叠是初中数学的重点内容,以其为背景的折叠问题是中考的常见题型,该类问题常借助图形折叠来考查轴对称变换、几何特性、三角形全等、解直三角形等知識,问题综合性较强,解析时可以采用多种方法策略. 下面探究其解析策略,探讨问题教学.
解析策略举例探究
折叠问题的核心内容是轴对称,其中的折叠特性也是基于该内容所构建的,而在探究解析时可以采用多种策略,如把握其中的变量与不变量、轴对称的垂直平分关系、图形折叠中的特殊关系与特殊位置等,充分挖掘问题中的隐含信息,构建相应的解题思路.
策略一:把握折叠中的变量与不变量
折叠是图形动态变化的过程,在该过程中“变”的是位置,而“不变”的是图形本身所具有的特性,因此在实际解析时可以把握其中的变量与不变量,根据不变量来提取恒定关系,打开解题突破口.
例1 (2019年江苏省常州市中考卷)如图1,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C′处,BC′与AD相交于点E.
(1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是____________;
(2)EB与ED相等吗?证明你的结论.
分析 (1)题干给出了图形折叠的过程,根据几何性质和折叠特性可知AE=C′E,由三角形内角和定理可得等角关系,进而可推AC′与BD的平行关系;(2)初步分析EB与ED相等,对于该结论可以由等腰三角形的“等角对等边”来获得,因此可从几何角来切入.
解 (1)连接AC′,由于AD=C′B,ED=EB,则AE=C′E,由三角形内角和定理可知∠EAC′=∠EC′A=∠EBD=∠EDB,所以AC′∥BD.
(2)根据折叠特性可知∠CBD=∠C′BD,由于AD∥BC,所以∠ADB=∠CBD,进而可推知∠EDB=∠EBD,则△BED为等腰三角形,有EB=ED.
策略二:活用轴对称中的垂直平分
折叠前后的图形关于折痕对称,即折叠所形成的图形为轴对称图形,由轴对称特性“对称轴垂直平分对应点的连线”可提取等长和垂直线段,由该特性可构建相等、垂直关系,有利于确定后续解析的方向.
例2 (2019年江苏省淮安市中考卷)如图2所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,H是AB的中点,将△CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,则tan∠HAP的值为______.
分析 连接PB,交CH于E,根据轴对称特性和三角形内角和定理可得CH垂直平分PB,同时可证PA∥CH,可得出∠BAP=∠BHE,可在Rt△BCH中构建∠HAP的正切关系,从而代入线段长求值.
解 连接PB,与CH的交点设为点E,折叠前后的图形关于折痕轴对称,根据轴对称特性可知点E为线段PB的中点,而线段PB⊥CH. 根据条件可推得AH=BH=PH,所以∠HAP=∠HPA,∠HBP=∠HPB,进而可知∠APB=90°. 由PB⊥CH可证PA∥CH,所以∠HAP=∠BHE. 在Rt△BCH中,已知BC=2,BH=■,则tan∠HAP=■=■,即tan∠HAP的值为■.
策略三:提取折叠图形中的特殊关系
图形折叠过程中必然涉及一些特殊的图形和特殊关系,例如全等三角形、相似三角形、直角三角形等,根据其对应特性即可提取特殊关系,合理利用其中的特殊关系可以构建解析思路,简化解题过程.
例3 (2019年广东省深圳市中考卷)如图3所示,在正方形ABCD中,BE=1,将BC沿CE翻折,使B点对应点刚好落在对角线AC上,将AD沿AF翻折,使D点对应点刚好落在对角线AC上,则EF的线段长为______.
分析 过点F作AB的垂线,垂足为点M,根据折叠和等腰直角三角形的性质可知EX=EB=AX=1,∠EXC=∠B=90°,AM=DF=YF=1. 而由勾股定理可知AE=■,进而可推知正方形边长AB的长,以及EM的长,后续利用勾股定理可求出EF的长.
解 作FM⊥AB于点M,如图4所示,已知四边形ABCD为正方形,则有∠BAC=∠CAD=45°. 分析图形折叠的过程,可知EX=EB=AX=1,∠EXC=∠B=90°. 在Rt△AEX中使用勾股定理可得AE=■=■. 点D的翻折落点是点Y,则AM=DF=YF=1,可推知正方形的边长AB=FM=■+1,则EM=■-1. 在Rt△EMF中使用勾股定理可得EF=■=■,即EF的线段长为■.
策略四:讨论折叠中的落点位置
在图形折叠过程中落点是其较为重要的内容,折叠的落点不同所形成的复合图形也具有较大差异,对于落点不明确的问题则可以对其加以讨论,形成对应几何模型,据此构建相应的解析思路.
例4 (2019年河南省中考卷)如图5所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=■a. 连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上,则a的值为______.
分析 本题目没有明确点B的对应点B′的落点,需要分两种情况加以讨论:①点B′落在AD边上,②点B′落在CD边上. 针对不同的情形需要根据折叠特性及相关几何特性来探究突破.
解 ①当点B′落在AD边上时,如图6所示,根据矩形性质和折叠特性可知∠BAE=∠B′AE=■∠BAD=45°,则AB=BE,所以■a=1,从而解得a=■.
②当点B′落在CD边上时,如图7所示,根据矩形性质可得∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=a. 根据折叠过程可得∠B=∠AB′E=90°,AB=AB′=1,EB=EB′=■a,可推知DB′=■,EC=BC-BE=■a. 进一步分析可证△ADB′∽△B′CE,由相似性质可得■=■,从而可解得a1=■,a2=0(舍去).
综上可知,a的值为■或■.
折叠问题教学思考
上述对折叠问题突破的四种方法策略进行了实例探究,其解析思路和方法技巧具有一定的参考价值,而在实际教学折叠问题时需考虑学情和考情,针对问题特点和学生的学习能力进行教学,下面提出几点教学建议.
1. 立足數学关系,奠定解题基础
几何的定理定义是解决折叠问题的基本工具,上述所探讨的四大解题策略涉及几何的轴对称关系、全等关系、垂直平分、几何特性等内容,在教学中需要对这些关系进行梳理. 例如引导学生理解几何折叠过程中隐含的轴对称现象,折叠前后的图形关于折痕对称. 对于其中的折叠特性则需要从线段长、几何角大小和图形形状等方面进行总结阐释. 教师要引导学生关注其中的特殊关系,如直角三角形的三边关系,相似三角形对应边的比的关系等,让学生掌握图形折叠的内在规律,充分联合其中的数学关系来构建思路.
2. 渗透数学思想,提升折叠价值
图形折叠问题突破过程中渗透着众多的数学思想,开展折叠问题的数学思想教学可以提升考题的价值.折叠问题建立在空间平面上,其中涉及线段长的数量关系,同时隐含着数学的函数思想、方程思想等.对于以折叠为背景的几何问题,在实际教学中不应局限于基本的几何定理,而应以折叠为基础渗透数学思想方法.例如上述例4的探究中以勾股定理和相似性质为基础,融合方程思想来构建关于参数的解析方程.数学解题应重视其中的思想方法,灵活运用数学思想来指导思路构建,可快速打开解题突破口,这对学生的思维发展是十分有利的.
3. 关注折叠构造,发展核心素养
图形折叠是初中数学的重难点内容,其动态过程中隐含着众多“变”与“不变”的关系,教学中若仅通过图形探究很难使学生充分掌握问题的突破方法,也不容易形成折叠问题的突破策略.本文建议教学中应结合具体的折叠实例,从添加辅助线入手来帮助学生掌握折叠问题的构造方法.例如连接对应点,利用连线与折痕的垂直关系来构建直角三角形;完善折叠图形,利用折叠前后的全等关系来提取等量关系.构造图形是初中阶段需要学生重点掌握的方法技巧,对于几何问题的突破至关重要,教师在教学中应重视图形构造,以几何构造为基础来发展学生的构造思想,逐步提升学生的核心素养.
结束语
折叠问题的突破策略众多,上述所呈现的只是其中较为常用的几种,而在实际解析时需要根据问题特点、图形结构灵活变通.另外图形折叠中隐含的定理是图形折叠的本质体现,教师在教学中需引导学生深入挖掘,重点体会,融合数学的思想方法来提升学生的数学思维.