一维准晶功能梯度层合圆柱壳热电弹性精确解1)

李杨 秦庆华 张亮亮 高阳,2)

*(中国农业大学理学院,北京 100083)

†(澳大利亚国立大学工程与计算机科学学院,澳大利亚堪培拉2601)

引言

层状结构因其优异的性能被广泛应用于航空、航天、土木和机械等领域[1].常规的层状结构是由均质材料层组合而成,以期获得更好的机械和热力学性能.但是,这种层状结构界面处材料参数的突然变化会产生较大的层间应力,从而导致应力集中、裂纹和分层等问题.为了克服这些不利影响,科学家们提出功能梯度材料的概念,即利用连续变化的组分梯度来代替突变界面,进而消除界面处的物理性能突变,达到提高结构强度和优化结构性能的目的[2-3].鉴于功能梯度材料具有组成结构连续变化和可设计性的特点,越来越多的科研人员对功能梯度材料表现出极大的兴趣.仲政等[2]对功能梯度材料与结构若干力学问题的最新研究进展进行了综述,并对非均匀介质力学研究进行了展望.柯燎亮和汪越胜[3]结合功能梯度材料接触力学的若干基本问题,综述了相关理论的研究进展.郑保敬等[4]提出一种模型降阶方法用于分析非均质材料结构在复杂载荷作用下的动态响应.杨健鹏和王惠明[5]研究了功能梯度球形水凝胶在一定条件下的非均匀大变形溶胀行为.Yang 等[6]利用复变函数方法研究了含有功能梯度层加固椭圆孔的无限大板的应力集中问题,并获得了其通解.基于广义England 方法,Yang 等[7]研究了功能梯度圆板在中心承受集中力作用下的轴对称弯曲问题.Pan 和Han[8]提出类Stroh 理论用于研究功能梯度磁电弹层合板的弯曲问题,获得了材料常数沿厚度方向呈现指数函数分布的精确解.

准晶由以色列科学家Shechtman 教授首次在急冷的Al-Mn 合金电子衍射图形中发现[9].准晶是一种不同于晶体和非晶体的新型固体材料,具有长程有序的原子排列,但不具备平移对称性[10].基于Landau 的元激发唯象理论,准晶中存在两个低能元激发:声子和相位子[11-12].相位子场的弓入,使准晶表现出不同于晶体和非晶体的多种性能,如:高强度、高硬度、耐磨性、耐腐蚀、低摩擦系数和低导热率等[13-14].由于准晶表现出来的优异性能,其主要用作表面涂层、薄膜以及复合材料增强相[15].随着准晶应用的推广,准晶材料的性能研究受到许多学者的关注.Maugin[16]将提出的准晶弹性方程扩展到准晶热弹性问题中.Li 等[17]利用广义势能理论,研究了二维六方准晶中的三维热弹性平面裂纹问题,并获得了解析解.Guo 等[18]基于Stroh 理论,研究了二维十次热弹性准晶的缺陷问题.Li 等[19-20]分别给出了考虑热效应的一维六方压电准晶中平面裂纹问题的理论解和数值解.

层合圆柱壳具有重量轻、强度高等特点,是工程中常用的结构元件之一.目前,关于准晶层状结构的动态和静态问题研究多数是基于矩形层合板开展的[21-23].此外,同时考虑热电弹耦合效应和材料不均匀性的准晶层合圆柱壳的研究开展的很少.因此,本文采用类Stroh 理论和传递矩阵方法,获得了一维准晶功能梯度层合圆柱壳的热电弹性精确解,讨论了功能梯度指数因子对层合圆柱壳物理量的影响,以期为准晶功能梯度层合圆柱壳的多场耦合效应及非均匀性分析提供可靠的参考依据.

1 基本方程

图1 是柱坐标系(r,θ,z)中一维准晶功能梯度层合圆柱壳的示意图,准周期方向和极化方向均沿着r轴,其外表面半径为rb,内表面半径为ra,沿z向长度远远大于层合圆柱壳半径,层合圆柱壳的角度跨度为θ0,第j层的内外半径分别为rj和rj+1.

图1 一维准晶功能梯度层合圆柱壳的示意图Fig.1 Schematic of functionally graded layered 1D quasicrystal cylindrical shells

对于考虑热-电-弹耦合的一维正交准晶材料,本构方程为[24]

式中,σkl为声子场应力; εkl为声子场应变;Hil为相位子场应力;wil为相位子场应变;Dk为电位移;Ek为电场强度;T为温度变化;Ckl,Rkl,Kkl分别为声子场弹性常数,声子场-相位子场耦合弹性常数和相位子场弹性常数;ekl,dkl,ξll分别为声子场压电系数,相位子场压电系数和介电系数;p3和βk分别为热电系数和导热系数.

忽略体力、自由电荷以及内部热源,静态平衡方程可写为

式中,qr,qθ,qz为热流.热流与温度的关系,可以表示为[25]

式中,kll为热传导系数.几何方程为

式中,ur,uθ,uz为声子场位移;wr为相位子场位移;φ 为电势.考虑层合圆柱壳两侧边简支的边界条件[24],即

对于一维准晶功能梯度材料,假设其材料参数沿着径向呈现幂函数分布,即

式中,α 为功能梯度指数因子,表示材料参数在半径r方向的梯度分布程度,后文中α 均表示功能梯度指数因子;上标带“0”的物理量表示均质材料对应的材料参数.

2 单层圆柱壳的热电弹性精确解

2.1 温度场的精确解

满足两侧边简支边界条件的温度函数可假设为

式中,ρ=r/rj,p=mπ/θ0,¯T(r)为与圆柱壳角度θ 无关的温度,文中其他顶部带横线的物理量均表示独立于圆柱壳角度的物理量.

将式(7)代入式(3),然后代入式(2),得

式中,特征值η 可求解为

将式(8)所示特征关系改写成

利用特征值和特征向量,可得到一维准晶功能梯度单层圆柱壳温度场的精确解

式中,χ1和χ2为待定未知量.

2.2 电弹耦合场的精确解

对于简支层合圆柱壳,广义位移矢量可表示为

将式(12)代入式(4),然后代入式(1),得到径向的广义应力矢量

弓入4 个矢量

式(14)所示矢量存在如下关系

利用基本方程和式(12),推导出满足一维热-电-弹性准晶功能梯度层合圆柱壳的类Stroh 公式[26]

式(15)和式(16)中矩阵分别为

为了便于求解,将式(16) 转换为对应的标准特征关系

式中,矩阵N和β分别为

求解式(18),可得到电-弹耦合场对应的特征值s和特征向量[a b]T,[c d]T.因此,一维准晶功能梯度单层圆柱壳电-弹耦合场的精确解为

3 层合圆柱壳的热电弹性精确解

本节弓入传递矩阵方法[26],用于处理层状结构问题.假设层间界面为完美连接,首先处理温度场的传递问题,然后求解电-弹耦合场多层结构问题,最后将温度场、电场和弹性场的结果合并,得到一维准晶功能梯度层合圆柱壳的热-电-弹性精确解.

考虑温度场,对于层合圆柱壳第j层,利用式(11),有

利用式(22),圆柱壳j层任意半径处的物理量为

式中,温度场的传递矩阵Tj为

考虑电-弹耦合场,对于圆柱壳j层,借助式(20),可以得到

利用式(25),层合圆柱壳j层任意半径处的物理量可以表示为

式中,矩阵Ej和Sj分别为

将式(23) 和式(26) 中精确解合并,同时重复利用传递矩阵,得到一维准晶功能梯度层合圆柱壳的热电弹性精确解

式中,δj=rj+1/rj,传递矩阵Gj(δj)为

4 数值算例

本节主要讨论功能梯度指数因子对温度场、电场、声子场和相位子场的影响.考虑3 层功能梯度圆柱壳,第一层和第三层为功能梯度准晶材料Al-Ni-Co,第二层为均质压电材料BaTiO3,且每层厚度相等,材料常数见表1[27-29].计算中为避免产生奇异矩阵,晶体的相位子场弹性常数按照10-8倍的准晶相位子场弹性常数选取[30],同时晶体中声子场-相位子场耦合弹性常数为0.

表1 材料常数Table 1 Material Constants

层合圆柱壳的几何参数为:内表面半径ra=4 mm,外表面半径rb=10 mm,角度跨度θ0=1 rad.假设在功能梯度层合圆柱壳的内外表面同时施加温度载荷,外表面载荷为T(rb)=1K,内表面载荷为T(ra)=0.5K.令m=1,指数因子分别为α=-5,0,5.当α=0 时,功能梯度材料退化为均质材料.数值算例中给出的物理量均独立于圆柱壳角度θ.

图2 指数因子对温度的影响Fig.2 Influence of exponential factor on temperature

图3 指数因子对电场的影响Fig.3 Influence of exponential factor on electric field

图4 为不同指数因子α 对应的声子场和相位子场应力沿半径方向的变化曲线.图4(a) 为在圆柱壳界面处连续的声子场应力.和α=-5 对应的相比,α=5 对应的最大值更大.此外,α=5 对应的在靠近内表面处数值最小,在靠近外表面处数值最大.从图4(b)可以看到,相位子场应力在中间层为0,因为晶体中不存在相位子场.准晶层中的随着α 的增大而增大.

图4 指数因子对声子场和相位子场应力的影响Fig.4 Influence of exponential factor on phonon and phason stresses

图5 给出指数因子α 对声子场和相位子场位移的影响.图5(a)显示声子场位移在界面处是连续的.文中功能梯度材料参数遵循幂函数变化规律,当指数因子α ＞0 时,功能梯度材料性质呈现渐变硬化趋势,α ＜0 则呈现渐变软化特性.所以层合圆柱壳内表面随着α 增大而变小.同时,的大小还与层合圆柱壳半径有关.因此,不同的指数因子对应的在最外层出现交点.此外,和α=-5 对应的相比,α=5 对应的在界面处曲线更光滑.在图5(b)中,和α 对的影响相比,α 对内外表面处的相位子场位移的影响较小.

图5 指数因子对声子场和相位子场位移的影响Fig.5 Influence of exponential factor on phonon and phason displacements

5 结论

本文利用类Stroh 理论和传递矩阵方法,研究了一维准晶功能梯度层合圆柱壳的热电弹性耦合问题,基于材料参数沿径向呈现幂函数分布特点,得到了简支边界条件下的一维准晶功能梯度层合圆柱壳的热电弹性精确解.数值算例中讨论了功能梯度指数因子对温度场、电场、声子场和相位子场的影响.所得结论如下:

(1)指数因子的变化影响层合圆柱壳的材料性质分布情况,进而对温度、电势、电位移、声子场和相位子场应力和位移产生较大的影响.

(2)随着指数因子的增大,径向声子场应力增大,且最大值出现在层合圆柱壳外层.外层中较大的应力易于被外层凸面分散,从而提升层合圆柱壳的承载能力.

(3)随着指数因子的增大,层合圆柱壳外表面周向声子场位移略有增大,内表面周向声子场位移减小.此外,周向位移在界面处更为光滑,可有效减缓层合圆柱壳在界面处出现开裂和分层等现象.