2020年河北省高考数学试卷作答情况分析与教学启示

>>>孙 邈 张生春

新冠病毒疫情下的2020 年高考具有鲜明的历史特征， 同时又处于中国高考综合改革进程中的关键时刻， 所以2020 年高考注定是不同寻常的高考：试卷的命制既要考虑高考核心功能的实现，又要考虑疫情对备考的影响，意义非同一般。 总体上，2020 年高考数学全国I 卷给予了较为完美的回答。 试卷很好地落实了“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，突出考查“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”的同时，也对“基础性、综合性、应用性、创新性”要求进行了科学合理的“排兵布阵”，较好地处理了稳定与创新的关系。

一、试卷总体分析

1.关注四个基础，难度科学合理

总体上来讲，2020 年高考数学全国I 卷的选择题和填空题以及解答题的第一问，都在考查基础知识，难度不大。 试题关注了考生考场上心理的变化和疫情给备考带来的不利影响。同时，关注了对“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的考查，这是对三年高中数学学习的检验，也是进一步学习的基础。 但解答题的最后一问均有一定的难度，尤其是解析几何题和导数题的第二问，这也是高校选拔人才的需要。

（1）求E 的方程；

（2）证明：直线CD 过定点.

2.注重理性思维，突出关键能力

高考数学试卷既是对数学知识的考查， 又是对理性精神和思维品质的深度考查， 是将数学能力与“理性思维、数学应用、数学探究”等学科素养统一在理性思维主线下的考查。

如，理科第12 题是以指数和对数构成的等式为背景考查不等关系。 这里既有相等关系，又有不等关系，是由相等关系得到不等关系。 不仅考查考生运用所学知识分析和解决问题的能力，同时也考查考生的观察能力、运算能力、推理判断能力和灵活运用知识的综合能力。

理科第16 题是立体几何中的折叠问题，考查了几何体中的线面位置关系和解三角形问题，考查了考生分析和解决问题的能力，同时也考查了空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力。

（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；

第一问研究一个具体初等函数的单调性问题，求得原函数的一阶导函数，并发现一阶导函数是单调递增函数，而且注意到f'（0）=0，得到准确结论并不难，属于中等难度的水平。

第二问是不等式恒成立，求变量范围问题。这类问题是高中阶段比较常见的， 解决这类问题的方法很多，但是常考常新，要想得到正确的结论，对考生的理性思维还是有较高要求的，极具创新，富有挑战，区分度较高。 下面对比几种解题思路：

思路一：这类问题最容易想到的方法就是“参变分离”，即当x＞0 时，分离出参数a 得到，只需a≥g（x）max即可。 需要对函数g（x）的单调性作进一步的研究，求得函数g（x）的导函数g'（x）接下来要对g'（x）的分子，即函数的性质作进一步的分析研究。 虽然这是一个初等函数，但构成很复杂，这就对考生的思维能力提出了严峻的考验。 解决这个问题有两种方案。

方案一：对函数h（x）的导函数作进一步的研究，这是一种比较传统的思维方式，具有一贯性。

方案二：通过观察发现，函数h（x）的表达式结构特点可以作进一步的整理，使函数h（x）变为然后，再作进一步的分析研究。

显然，这两种方案都可以得到准确的结论，但是，对考生能力的要求有所不同的。 方案二在求解过程中通过观察提出创造性的方案， 用这种思维方式得到准确结论较方案一的思路更有价值。

思路二：当x≥0 时观察发现， 不等式的左边可以理解为函数y=ex和函数y=ax2-x（a≠0）的组合，右边是函数+1。由这些函数构成的不等式恒成立，如果直接构造函数进行研究的话，是件非常困难的事情。如果对原不等式的结构进行变形整理， 可以使问题的难度降低， 但这种方法对思维能力的要求很高。这些函数中y=ex是最耀眼的函数，该函数的导函数是其本身，函数值水远大于0，对整个不等式起到了主导作用， 我们要削弱其主导作用，所以要对原不等式左右两边同时除以ex，这样就得到了不等式

思路二是完美的， 完美的背后是优秀的思维品质，优秀的思维品质能够创造更大的价值。

思路三：由原不等式整理得-x-1≥0（x≥0），构造函数-x-1（x≥0），研究函数g（x）的最小值［g（x）］min，使得［g（x）］min≥0，使问题得到解决。 有以下两种方案：

列宁之所以认为马克思主义是科学的意识形态，是社会主义意识形态教育的内容，是因为马克思主义是无产阶级争取自身和全人类解放的思想武器，是科学性和革命性的有机统一。他认为：

方案一：函数g（x）的一阶导数和二阶导数，以及在x=0 处的函数值和导函数值， 对a 进行分类讨论研究。 这种方案的思路一般，在进行深入研究时会非常困难。 这恰恰体现出数学学科的价值，如果思路比较容易想到，那么往往是深入起来比较困难，所以遇到问题就要多思考，要在解决问题的过程中不断优化和完善思维过程。 由此可见，数学学科是培养人的思维能力、优化思维品质的一门学科。

方案二：先通过g（2）≥0，即然后再对结论的必要性和充分性进行论证。 方案二的思路是通过特值将参量的取值范围缩小，然后再进行论证。 这是一种由特殊到一般、先猜测后论证的思路， 也是数学研究问题常用的思维方式。

文科第20 题也是函数与导数问题， 题目为：已知函数f（x）=ex-a（x+2）.

（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围.

第二问是已知函数零点个数，求参量取值范围。此类问题的解决方法与以上理科21 题类似。

思路一：将问题转化为两个函数图象有两个交点的问题，有两种方案：

方案二：函数与函数y=a 有两个交点。

思路二：直接对原函数的性质进行分析研究，即对参量a 进行分类讨论。 在这个过程中，还会遇到很多意想不到的困难， 这就要求考生及时调整解题思路，思维转换要快。 其实，这就实现了这道题的价值， 区分出了考生不同的思维品质，为高校的选拔奠定好了基础。

通过以上解题思路的分析可以看出，2020 年高考数学全国I 卷，对考生的理性思维进行了深入的考查，同时也对观察、运算、逻辑推理、表达、动手操作、记忆、空间想象等能力进行了全方位的考查，这就是高考数学的学科价值。

3.落实立德树人，体现育人价值

数学试卷同样也会关注数学的育人价值，也会关注德智体美劳全面育人的要求。 高考数学试卷通过以考促教，引导育人目标的落实，确保立德树人这一教育根本任务的实现。

高考数学试卷通过选取日常生活、 工业生产、国家发展、社会进步中的实际问题，本着贴近时代、贴近社会、贴近生活的原则，科学地设计问题的背景，从而考查考生运用所学知识、能力和素养解决实际问题的能力， 让考生充分感受所学内容中蕴含的应用价值。

第3 题以世界建筑奇迹古埃及胡夫金字塔为背景，设计了正四棱锥的计算问题，将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机结合， 让考生体会到古人的智慧和数学知识的力量。

第5 题以种子发芽率和温度的关系为背景，设计出两个相关变量间的关系问题。

文科第17 题是以加工业务为背景，以平均利润为依据的决策问题， 让考生感受到数学能够解决生活中的实际问题，数学是有用的，引导学生热爱数学，热爱生活。

理科第19 题以甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛为背景， 将概率问题融入常见的羽毛球比赛中，以参赛人的获胜概率设问，重在考查考生的逻辑思维能力、 处理实际问题的方法和措施。 试题考查考生对事件进行分析、分解和转化的能力，以及对概率基础知识，特别是相互独立事件的概率模型、事件间的关系和运算、事件独立性等内容的掌握。

“健康情感”要求考生具有健康意识，注重增强体质、健全人格、锤炼意志。 身心健康是素质教育的重要内容， 数学试卷设计了以体育运动为问题情境的试题，体现了积极的导向作用。

4.文科理科趋于相同，为新高考作好准备

从2020 年高考数学全国I 卷理科与文科必考试题的21 个题目对比发现， 相同题目有：第3 题、第5 题、第7 题、第13 题、第10 题（文科12 题）、第20 题（文科21 题）。 相似度很高的题目有：理科6 题与文科15 题都是考查函数切线方程问题；理科11 题与文科6 题都是考查直线与圆的位置关系问题；理科12 题与文科8 题都是考查指数与对数运算问题；理科18 题与文科19 题都是以圆锥为载体考查空间线面位置关系问题； 理科21 题与文科20 题都是以指数函数y=ex和含有一个参量的二次函数（一次函数） 构成的初等函数为载体考查函数单调性和参量取值范围问题。 考点相同、试题不同的有：集合、复数、平面向量和双曲线均有一个小题。

2020 年是山东、 海南实行高考综合改革后的首次高考，数学不分文理科。 由2020 年高考数学全国I 卷的文科和理科可以看出， 试卷为新高考做好了准备，起到了过渡的作用。

二、教学启示

通过对2020 年高考数学全国I 卷的分析，对数学教学得到如下启示。

1.要注重立德树人

习近平总书记在全国教育大会上强调，要把立德树人融入教育各环节，贯穿教育各领域。数学的教学不仅仅是知识的教学、解题的教学、思想方法的教学，更是育人的教学。 在教学过程中必须明确，“为谁培养人、怎样培养人、培养什么人”，围绕“一核四层四翼”的高考改革导向，落实全面育人的目标。

2.培养理性思维

在数学教学过程中， 要注重知识产生的背景、发展变化、推理论证、应用实践、探究发现等环节的过程，这些环节都蕴含着理性思维，都是理性思维形成的关键环节， 都是科学精神和个人智力发展的重要过程，所以，一定要注重过程的教学。 特别是要把握数学的本质，启发学生探究思考，突出“四基四能”，激发学习兴趣，培养良好的学习习惯。

3.注重核心素养的形成

数学的核心素养是学生通过对数学知识的学习，逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力，是学生继续学习发展的基石。 要逐步提升学生的核心素养， 引导学生学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。