解题教学中落实数学运算素养的实践与思考

郑荣坤

[摘  要] 文章针对当前高中学生普遍存在“一看就懂，一听就会，一算就错”的问题，依据章建跃主任的观点，结合教学实践，探讨如何在解题教学中落实数学运算素养.

[关键词] 运算对象;运算法则;运算思路;运算方法

笔者从事高中数学教学十数载，有如下教学经验：学生搞明白了如何应用分类讨论的数学思想方法解选做题中的不等式，但是去括号没变号、并集算错的现象屡见不鲜;学生弄清楚了解析几何解答题的解题过程，但大多数学生都选择中途放弃;学生掌握了错位相减求数列之和的方法，算出正确答案的却不在多数. 人民教育出版社中学数学室章建跃主任提出：“可以通过落实数学运算素养来改变高中生运算能力差的现状，要注重数学运算的基本技能，要从‘数系扩充的背景、内容、方法及其数学思想处提升学生的数学运算素养.”

数学运算素养是指在明晣运算对象的基础上，根据运算法则来解决数学问题的素养. 具体包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等. 虽然落实数学运算素养关键在于以下四个方面：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法，但是由于大多数教师缺乏相关的经验与理论，故在实际教学中很多教师常常困惑：如何在解题教学中落实数学运算素养呢？因而研究和开发出一些教学途径与方法是十分必要的. 下面就以笔者在解题教学中的一些教学片段为例，谈谈落实数学运算素养的策略和方法.

■关注为什么这么做，透彻理解运算对象

理解运算对象就是要明确对谁进行运算，即了解运算对象的背景，理解运算对象的本质、几何意义、相关数学思想以及相关联的概念等. 理解运算对象是正确进行运算的基本要求，然而高中数学的运算对象不仅类型多，而且难理解，导致部分学生对其产生了畏惧心理.因此，教师在教学中应当侧重加强学生对运算对象的理解.

在当前的解题教学中，教师关注怎么做的多，一味强调解题训练的重要性，其结果是学生常常搞错运算对象. 其实，让学生透彻理解运算对象并应用自如，仅靠学生机械化的解题训练是远远不够的，让学生搞清楚为什么这么做才有意义.

案例1：笔者在上《导数的计算》解题课时，让学生解答以下试题：

已知曲线y=x3-2x+4，则在点（1，3）处的切线的倾斜角为（  ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°

学生很快就得出以下的解答过程：由于y′=3x2-2，y′x=1=1，故倾斜角为45°. 但当笔者提出了以下问题，却没有学生能回答.

问题1：函数y=x3-2x+4，为什么y′=3x2-2？

问题2：为什么曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线斜率等于y′x=1=1呢？

为了帮助学生解决问题1，笔者先向学生介绍了平均变化率：■=■，然后让学生知道，在x=x0处的瞬时变化率为：■■=■■，最后让学生自行求y′x=1的值.为了帮助学生解决问题2，笔者让学生思考以下问题.

问题3：■=■的几何意义是什么？

问题4：如果点A（x0，f（x0）），B（x0+Δx，f（x0+Δx））是曲线y=x3-2x+4上的两点（如图1所示），那么当Δx趋近于0时，直线AB与曲线是什么位置關系？

■

图1

在学生解决了上述问题之后，笔者继续让学生自主完成以下问题.

问题5：已知曲线y=x3-2x+4，则在点（1，3）处的切线方程为__________;

问题6：已知曲线y=x3-2x+4，则过点（1，3）的切线方程为__________.

在这个教学案例中，原本只是一节比较简单的解题课，让学生计算函数在某一点处的切线方程，但由于关注了为什么这么做，设计了问题串，扩大了探索的空间，使得一节平淡的课在不断追问“为什么”的过程中激起了层层浪花，自然让学生对运算对象的理解更加深入.

■关注失败经历，熟悉掌握运算法则

掌握运算法则就是在理解运算对象的前提下，明晰本运算所涉及的运算法则. 不同的运算有着不同的运算法则，只有掌握运算法则，才能保障运算过程和结果的准确性. 数学运算法则不具备规则性，无法生搬硬套，而应当是在学生充分理解和掌握的基础上去灵活运用.？摇

在当前的解题教学中，教师关注成功经验的多，总是害怕学生未能掌握运算法则而算错. 其实，为了让学生深入理解和熟悉掌握运算法则，教师应当关注失败经历，正如同当代著名的美国心理学家罗杰斯所说：“我们期望学生犯错误，因为从错误中吸取教训，便可争取明天的成功.”教师可以在解题教学中设计一些学生容易解答错误的题目，先创设条件与机会让学生在运算中犯错误，然后让学生自主或合作诊断错误，吸取教训，从而获得对运算法则的深入理解和熟悉掌握.

案例2：笔者在上《数列求和》解题课时，让学生自主解答以下试题：

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn的值为（  ）

A. 2n-1？摇 B. ■■？摇？摇？摇？摇？摇

C. ■■？摇？摇？摇？摇？摇 D. ■

大多数学生做出了以下的错误解答：①当n=1时，S1=2a2，则a2=■a1=■;

②当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+1-2an，则an+1=■an.

因为数列{an}是以1为首项、■为公比的等比数列，所以Sn=■=2·■■-2.

为了帮助学生寻找错误的原因，也让学生在自主纠错的过程中理解和掌握运算法则，笔者提出了以下问题.

问题1：当n≥2时，an+1=■an，则数列{an}是等比数列吗？

问题2：如果条件“an+1=■an”不变，而要使得数列{an}为等比数列，那么项数n必须满足什么条件？

问题3：如果条件“n≥2”不变，而要使得数列{an}为等比数列，那么该数列的递推公式应该是什么呢？

问题4：请你归纳出以上解答错误的原因.

学生在解答上述问题的过程中便明确了等比数列的递推公式. 为了让学生更加深入地理解和掌握“已知数列前n项和求通项”的运算法则，笔者继续让学生解决下列问题：

问题5：当n≥2时，an=Sn-Sn-1，把Sn=2an+1代入可得an+1=■an，由于运算法则常可以正、逆两用，如果把上述运算称为“正运算”，那么“逆运算”是什么？

问题6：如果已知数列{an}满足a1=1，■+■+…+■=2■，那么该如何求数列{an}的通项公式？

本教学案例充分展示了如何关注学生的失败经历. 当学生的解答出现错误时，教师设计了问题串引导学生自主寻找解答错误的原因. 由于一次失败经历，会让人刻骨铭心，故学生经历了自主纠错的过程，自然会更加深入地理解和掌握运算法则. 这样的解题课教学往往能够促进学生数学思维的发展，课堂上常常会有意外生成. 例如：笔者在课堂上還发现了学生的特殊解法：当n=1时，S1=a1=1，没有办法排除任何一个选项;当n=2时，S1=2a2，a2=■a1=■，S2=a1+a2=■，排除A、C、D选项，则B选项正确.

■关注解题思维的获得过程，深入探究运算思路

运算思路是运算操作的路线图，具有内在的逻辑性，蕴含着丰富的推理过程.数学运算离不开运算思路，没有事先确定运算思路就犹如无木之本、无源之水，难以入手. 运算思路是解决数学问题的关键，是体现数学运算素养的精华.探索不同的运算思路反映着不同的解题思维，解题思维的获得过程就是对运算思路的探究过程.

在当前的解题教学中，教师关注解题方法应用的多，教学模式单一：介绍解题方法、应用方法解题，所培养出来的大多数学生都无法自主探究运算思路. 因此，只有教师关注解题思维的获得过程以及解题方法背后的思维逻辑，才能有效培养学生的数学思维能力，从而不断提升学生自主探究运算思路的能力. 如果教师善于激发学生的创新思维，那么培养出来的学生常常会探究出不一样的运算思路.

案例3：笔者在上《利用导数研究函数单调性》解题课时，让学生解答以下试题：

已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，讨论f（x）的单调性.

该题源于2016年全国高考文科数学卷Ⅰ第21题，虽然只是第一小题，但该题对学生的解题思维要求比较高.为了让学生获得解答该题的思维，笔者先让学生做一道辅助题：

已知函数f（x）=x2+（2a-1）x-alnx，讨论f（x）的单调性.

该辅助题的导函数f′（x）=■，x>0.研究函数f（x）的单调性时，可以先按a≥0和a<0分两类. 当a<0时，令f′（x）=■=0（x>0），得到导函数f′（x）的两个零点，再按两个零点的大小分三类：①a=-■;②a<-■;③-■

学生经历了解决上述辅助题的解题过程，具备了一定的思维能力，可以采用类似的解题思维来探究上述高考题的解题思路：f′（x）=（x-1）（ex+2a），由于ex>0，所以依然可以先按a≥0和a<0分两类. 当a<0时，令f′（x）=0，得到导函数f′（x）的两个零点，再按两个零点的大小分成三类：①ln（-2a）=1;②ln（-2a）<1;③ln（-2a）>1. 但思维能力比较差的学生依然运算不了. 为了打开学生的思维，让学生找到便于理解、运算的解题思路，笔者向学生提出了以下几个问题.

问题1：既然从代数运算研究函数的单调性比较麻烦，那么还可以从哪个方面入手？

问题2：从导函数的图像，又该如何判断原函数的单调性呢？

问题3：与导函数f′（x）=（x-1）（ex+2a），x∈R的两个因式相对应的函数是什么函数，你能否画出它们的图像？

问题4：当a≥0时，你能否通过观察图像求出函数y=ex+2a的值域？你能否求出f′（x）>0和f′（x）<0的解集？

问题5：当a<0时，如何由函数y=ex的图像变换得到函数y=ex+2a的图像？

问题6：观察下列图像，你能否求出函数y=ex+2a的零点并比较与1的大小，求出f′（x）>0和f′（x）<0的解集？

在本教学案例中，笔者让学生挑战解题思维比较高的2016年高考题.虽然如何引导学生探究该题的运算思路是一个教学难点，但是笔者关注了解题思维的获得过程，先设计了辅助题让学生类比，再设计问题串，引导学生探究.这样的解题课教学让学生充分体验了数形结合的解题过程，学生的数学思维也会在经历探究运算思路的过程中不断得以发展，教学难点也就自然得以突破.

关注主动优化生成，灵活选择运算方法

完成运算、得出结果的方法、程序或途径，通常叫做运算方法或计算方法. 选择运算方法进行运算的过程是反映、揭示规律的过程，也是演绎推理的过程.而运算过程的繁简取决于运算方法的优劣，因此灵活选择运算方法至关重要. 数学运算素养不仅体现在要有很强大的计算能力，更是体现在能够灵活选择恰当的运算方法以期实现解题的高效性与最优化.

虽然大多数教师都认可“授之以鱼，不如授之以渔”的教学观点，但是由于教师关注学生被动接受的多，所以在解题教学中依然存在满堂灌的现象. 所培养出来的大多数学生思维僵化，能够灵活选择运算方法进行运算的学生不在多数. 因此，笔者呼吁教师在课堂教学中多给学生留点时间和空间，多关注学生的主动优化生成.在必要的时候还可以点燃一把火，让枯燥的数学课堂燃烧出激情的火花.

案例4：笔者在上《利用导数研究函数的综合问题》解题课时，让学生解答以下试题：

已知函数f（x）=ex-ax+a（其中a为参数），若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

不久，学生便探究出解决该题的方法.

解法1：先对函数求导得f′（x）=ex-a，然后结合f（x）的单调性分析函数的零点问题.当a≤0时，函数f（x）在R单调递增，此时函数f（x）没有两个零点;当a>0时，函数f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减. 此时，要使得函数f（x）有两个不同的零点，则必须f（x）min=f（lna）=2a-alna<0，解得a>e2.

笔者肯定了学生的解答之后，继续让学生探究其他的解题方法，特别是避开分类讨论思想的方法.

解法2：令函数f（x）为零并分离参数得a=■. 设函数g（x）=■，对函数g（x）进行求导得g′（x）=■，很容易求出函数g（x）在（2，+∞）上單调递增，在（-∞，2）上单调递减，则g（x）min=g（2）=e2.要使得函数f（x）有两个不同的零点，则必须直线y=a与函数y=g（x）有两个交点，求得a>e2.

显然采用分离参数的解法2避开了分类讨论，选择此解法也简化了运算过程，但很可惜的是学生的推理过程不够严密，经过教师的引导学生才发现了问题.尽管当x=1时不满足题意，但是依然要求严密的推理过程.原本教师打算收场，只是习惯性地问一句：还有没有其他解法？意外的事情果然发生了，数学科代表站了起来并向大家介绍了以下解法.

解法3：令函数f（x）为零并移项整理得ex=a（x-1）. 设函数g（x）=ex，函数g（x）与直线y=a（x-1）的切点为P（x■，ex0）. 由于g′（x）=ex，则ex0=■，解得x0=2. 所以要使得函数f（x）有两个不同的零点，则必须a>g′（x0），即a>e2.

虽然这节课以笔者要求学生采用不同方法运算下列变式题而结束（变式题：已知函数f（x）=ex-ax+a（其中a为参数），若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围），但是本教学案例让人感触许多，印证了：“三人行必有我师”，也让人更加坚信：关注主动优化生成是至关重要的.

总之，虽然高中学生的数学运算能力好与差受诸多因素的影响，但是可以通过落实数学运算素养来改变学生运算能力差的现状. 虽然落实数学运算素养的解题教学有诸多教学方法，但是正如同我国教育家叶圣陶所说：“尝谓教师教各种学科，其最终目的在达到不复需教，而学生能自为研索，自求解决.”只有教师不断反思和总结教学得失，努力改进和创新教学方法，激发学生自主学习的热情，才能实现学生自为培养、自求提升数学运算素养的目标.