椭圆球面波函数信号时频分布特性研究

缪幸吉 王红星 刘传辉 陆发平 康家方

摘  要： 针对椭圆球面波函数（PSWF）信号的频率时变特性，通过引入Wigner?Ville分布时频分析方法，在时频域上建立PSWF信号Wigner?Ville分布与其自身特性之间的关系，重点研究了PSWF信号时频分布特性与信号频域区间、对应阶数和时频能量分布特性的关系。理论分析和数值分析表明，PSWF信号时频分布特性具有良好的对称性、时频能量聚集性，且时频分布的特征参量与PSWF信号频域区间、对应阶数和时频能量分布特性密切相关。结论进一步深化了对PSWF信号时频分布特性的認知，为下一步在时频域上探索研究新型、高效PSWF调制信号检测方法提供了重要的参考依据。

关键词： 椭圆球面波函数; 时频分布; 能量聚集; Wigner?Ville分布; 理论分析; 数值分析

中图分类号： TN911.7?34                        文献标识码： A                         文章编号： 1004?373X（2020）19?0014?05

Abstract： In view of the time?varying characteristics of the frequency of PSWF （prolate spherical wave function） signal， the Wigner?Ville distribution time?frequency analysis method is introduced to establish the relationship between the Wigner?Ville distribution of PSWF signal and its own characteristics in the time?frequency domain. The relationship between the time?frequency distribution characteristics of PSWF signal and signal frequency domain interval， and corresponding order and time?frequency energy distribution is emphatically studied. Theoretical analysis and numerical analysis results show that the time?frequency distribution characteristics of PSWF signal have good symmetry and time?frequency energy aggregation， and the characteristic parameters of time?frequency distribution are closely related to the frequency domain interval， corresponding order and time?frequency energy distribution character of PSWF signal. The conclusion further deepens the perception for the time?frequency distribution characteristics of PSWF signal， and provides an important reference for the next step to explore and study a new and efficient PSWF modulation signal detection method in the time?frequency domain.

Keywords： prolate spherical wave function; time?frequency distribution; energy aggregation; Wigner?Ville distribution; theoretical analysis; numerical analysis

0  引  言

1961年，针对香农所提出的问题：一个函数能多大程度在它的频谱限制在有限带宽而同时又在时域上是集中分布的，贝尔实验室的D.Slepian和O.Pollak在研究报告中给出了PSWF（Prolate Spheroidal Wave Function）这类特殊函数的集合[1]。PSWF具有完备性、双正交性、时域奇偶性和最佳时频能量聚集性等优良特性[2]。基于PSWF的优良特性，文献[3]提出了一种基于PSWF的非正弦时域正交调制方法，有效提高了系统频带利用率。在理想信道下，基于PSWF良好的正交性可以有效分离和解调PSWF调制信号，但在恶劣信道条件下，信号间正交性被破坏，相干检测性能急剧恶化。如何从PSWF调制信号中高效分离、检测各路PSWF信号，是目前亟需解决的关键性问题。目前，现有检测方法主要利用PSWF信号特性在时域或频域的能量密度分布特征规律对信号进行检测，而PSWF信号是典型的非平稳信号，信号频率分量随时间不断变化，PSWF信号在时频域呈现什么分布特性，能否从中探索可用于信号检测的时频特征参量，相关研究文献较少。充分研究PSWF信号的时频分布特性，不仅能完善PSWF信号特性，还能为研究高效的PSWF调制信号检测方法提供理论依据，具有十分重要的意义。

在二维时频域研究PSWF信号时频特性，需要选取具有较高时域和频域分辨率的时频分析方法[4]。根据PSWF定义可知，PSWF信号频率会随时间发生非线性变化，可以看作是一类特殊的非线性信号。现有非线性時频分析方法主要包括：Cohen类[5]和Hilbert?Huang变换[6]等。Hilbert?Huang变换利用Hilbert变换研究由信号分解成的本征模态函数的瞬时属性，从而得到多频率分量信号的时频特性，由于原理步骤的限制，利用该方法准确分析没有闭式解析解的PSWF信号的时频分布特性十分困难。相比之下，Cohen类时频分析方法通过构造核函数对信号进行双线性变换，可以避免对信号进行分解的步骤，更加适合分析PSWF信号时频分布特性。Cohen类时频分析方法中常用的是Wigner?Ville分布方法[7]，其中Wigner?Ville分布本质上是二维时间?频率能量密度函数，可以将信号能量映射到二维时频域平面，并且具有较高的时频分辨率。

本文首先从PSWF定义出发，给出了基带、带通PSWF信号的求解方法;其次，引入Wigner?Ville分布时频分析方法，围绕PSWF信号频域区间、对应阶数和时频能量分布特性三个方面，对PSWF信号时频分布特性进行研究，并通过理论分析和数值分析，结合时频分布的特征参量，给出PSWF信号时频分布特性。

1  PSWF定义

故带通PSWF信号本质上可通过基带PSWF信号分别与正余弦信号相乘运算后得到，即[n]阶基带PSWF信号分别乘正、余弦信号可得到[2n]和[2n+1]阶带通PSWF信号。

2  PSWF信号时频分布特性

Wigner?Ville分布是典型的时频联合分析方法，用于分析非平稳信号幅频特性随时间的变化情况。信号[s（t）]的Wigner?Ville分布定义如下：

式中，信号[s（t）]为任意非平稳信号，通常式（4）也被称为信号[s（t）]的自Wigner?Ville分布。该方法是利用时间?频率联合函数分析非平稳信号的方法，其主要思想是通过设计时间和频率的联合函数，同时描述信号在不同时间、频率的能量密度，其本质就是将信号能量分布映射到时频平面，反映信号在二维时频能量域的能量密度分布。

本节根据基带、带通PSWF信号自身特性不同的特点，从信号在时域、频域的能量密度分布特性两个方面出发，分别建立基带、带通PSWF信号在时域和频域的能量密度分布特性与信号性质之间的关系，进而分析PSWF信号的时频分布特性。

2.1  基带PSWF信号时频域能量密度分布

由于PSWF是带限时限信号，其时域区间为[[-T2，T2]]，频域区间为[[-Ω，Ω]]，第[i]阶基带PSWF信号[ψit]的Wigner?Ville分布为：

由于Wigner?Ville分布为二维时间?频率能量密度函数，对其进行频域积分便可得到时域能量密度分布函数。对式（5）进行频域积分得到基带PSWF信号时域能量密度分布为：

由式（6）可知，基带PSWF信号时域能量密度分布为其瞬时能量，其能量峰值个数与信号阶数有关，且峰值位置关于时域中心时刻呈现偶对称。结合第2.1节可知，0阶基带PSWF信号在时域区间[[-T2，T2]]内能量聚集性最优，随着信号阶数的增加，时域能量聚集性逐渐降低。

对基带PSWF信号的Wigner?Ville分布进行时域积分便可得到频域能量密度分布。将式（5）进行时域积分得到基带PSWF信号时域能量密度分布为：

由式（7）可知，基带PSWF信号频域能量密度分布为其自功率谱，其中心频率为[ψit]的中心频率，信号在频域的能量密度分布呈现偶对称，其能量峰值位于中心频率。

2.2  带通PSWF信号时频域能量密度分布

结合式（3）和式（5）可知，相邻两阶带通PSWF信号的Wigner?Ville分布表达式如下：

与基带PSWF信号时频域能量密度分布分析相同，结合式（3），式（7）和式（8）可知，相邻两阶带通PSWF信号时频域能量密度分布分别为：

由于[n]阶基带PSWF信号分别乘正、余弦信号可得到[2n]和[2n+1]阶带通PSWF信号，因此，与基带PSWF信号时频分布特性类似，0阶带通PSWF信号在时域区间[[-T2，T2]]内能量聚集性最优，随着信号阶数的增加，时域能量聚集性逐渐降低。能量峰值个数与其所对应的基带PSWF信号阶数有关，且峰值位置关于时域中心时刻呈现偶对称，能量峰值中心频率为[ψDnt]的中心频率，在频域的能量密度分布呈现偶对称。

由上述分析可知，第[2n]和[2n+1]阶带通PSWF信号对应的能量峰值个数都与第[n]阶基带PSWF信号[ψnt]一致，从而导致无法直接利用能量峰值个数区分相邻两阶带通PSWF信号。因此，这里通过引入瞬时频率对信号进行分析[8]，瞬时频率作为瞬时物理量之一，能在非平稳信号分析中起到重要作用，PSWF信号瞬时频率为：

式中：下标[i]代表瞬时;[ψ′Dnt]表示第[n]阶带通PSWF信号的解析信号，瞬时频率本质是解析信号[ψ′Dnt]的相位的导数。由于带通PSWF信号本质上是基带PSWF信号通过正余弦信号相乘得到，相邻两阶带通PSWF信号的相位差异必然导致其瞬时频率不同。因此，通过将瞬时频率作为特征参量，能够有效区分出相邻两阶带通PSWF信号。

3  数值分析

由于PSWF信号无闭式解析解，无法通过理论完全准确地分析PSWF信号的时频分布特性。因此，本节借助计算机数值计算，对理论分析进行仿真验证，证明理论分析的正确性。同时，利用仿真结果进一步探索PSWF信号的时频分布特性。

3.1  仿真条件

为了深入分析PSWF信号的时频分布特性，利用Wigner?Ville分布方法分别对基带PSWF信号和带通PSWF信号进行时频分析，验证理论分析的正确性。仿真的PSWF信号参数设置如表1所示。

3.2  仿真結果与分析

3.2.1  基带PSWF信号时频分布特性

图1为前4阶基带PSWF信号的Wigner?Ville分布图。从图1中可知：

1） 0阶基带PSWF信号时域能量聚集性最佳，能量集中在中心时刻，随着信号阶数的增加，信号能量峰值逐渐向边缘时刻漂移，能量峰值位置在时域上分布跨度逐渐增加，且靠近中间时刻的能量峰值逐渐降低，导致信号时域能量聚集性不断降低。例如，0阶信号时域能量峰值位于时刻为1 s时，1阶信号时域能量峰值分别位于时刻为0.5 s和1.5 s时，2阶信号时域能量峰值分别位于时刻为0.25 s，1 s和1.75 s时，3阶信号时域能量峰值分别位于时刻为0.125 s，0.75 s，1.25 s和1.75 s时。

2） 基带PSWF信号频域能量峰值位于中心频率处，且频域能量分布关于中心频率对称，0阶基带PSWF信号频域能量聚集性最佳，随着信号阶数的增加，频域能量分布区域逐渐扩大，集中程度不断降低，进而导致频域能量聚集性不断降低。例如，基带PSWF信号能量峰值点都位于0 Hz，0阶信号频域能量分布在[-1.5 Hz，1.5 Hz]，1阶信号频域能量分布在[-1.65 Hz，1.65 Hz]，2阶信号频域能量分布在[-1.8 Hz，1.8 Hz]，3阶信号频域能量分布在[-2.2 Hz，2.2 Hz]。

3） 基带PSWF信号时频平面能量密度分布分别关于时间、中心频率呈现偶对称特性，能量峰值都位于信号中心频率处，且其个数[n]与信号阶数[i]相关，满足[n=i+1]。例如，0阶、1阶、2阶和3阶基带PSWF信号分别有1，2，3，4个能量峰值点。

3.2.2  带通PSWF信号时频分布特性

图2为前四阶带通PSWF信号的Wigner?Ville分布图。从图2中可知：

1） 0阶带通PSWF信号时域能量聚集性最佳，能量集中在中心时刻，随着信号阶数的增加，信号能量峰值逐渐向边缘时刻漂移，能量峰值位置在时域上分布跨度逐渐增加，且靠近中间时刻的能量峰值逐渐降低，导致信号时域能量聚集性不断降低，与基带PSWF信号一致。例如，0阶和1阶带通PSWF信号时域能量峰值位于时刻为2 s时，2阶和3阶带通PSWF信号时域能量峰值分别位于时刻为1.25 s和2.75 s时。

2） 带通PSWF信号频域能量峰值位于中心频率处，且频域能量分布关于中心频率对称，0阶带通PSWF信号频域能量聚集性最佳，随着信号阶数的增加，频域能量分布区域逐渐扩大，集中程度不断降低，进而导致频域能量聚集性不断降低。例如，带通PSWF信号能量峰值点都位于0 Hz，0阶信号频域能量分布在频域区间[3 300 Hz，4 700 Hz]，1阶频域能量分布在频域区间[3 300 Hz，4 700 Hz]，2阶频域能量分布在频域区间[3 200 Hz，4 800 Hz]，3阶信号频域能量分布在频域区间[3 200 Hz，4 800 Hz]。

3） 带通PSWF信号时频平面能量密度分布分别关于时间、中心频率呈现偶对称特性，能量峰值都位于信号中心频率处，且能量峰值点个数[n]与带通PSWF信号阶数[i]相关，满足[n=i2+1]。例如0阶、1阶带通PSWF信号由0阶基带PSWF信号产生，2阶和3阶分别由1阶基带PSWF信号产生，0～4阶带通PSWF信号分别有1，1，2，2个能量峰值点，与对应的基带PSWF信号能量峰值点个数一致。

4） 观察图2a）中2阶和3阶信号，可以发现2阶信号在时间为1.75 ms和2.25 ms时，瞬时频率位于频域区间下限附近;而3阶信号在时间为1.75 ms和2.25 ms时，瞬时频率位于频域区间上限附近。结合前文分析可知，由于1阶基带PSWF信号分别与正余弦函数相乘，得到对应的2阶和3阶带通PSWF信号，2阶和3阶带通PSWF信号奇偶性和相位正好相反，故其瞬时频率必然不相同，反映在图中便是在频域区间上、下限附近出现的“尖峰”。虽然相邻两阶带通PSWF信号能量峰值点个数、位置和能量密度分布区域是相同的，难以进行区分，但通过观察特定时刻的瞬时频率，可以实现对相邻两阶带通PSWF信号的甄别。

4  结  语

本文通过建立Wigner?Ville分布与PSWF信号自身特性之间的关系，深入研究了PSWF信号时频分布特性与信号频域区间、对应阶数和时频能量分布特性之间的关系，将围绕PSWF信号在单一能量域的相关研究拓展到二维时频能量域。理论分析和数值分析表明， PSWF信号在时频域分别呈现出众多特征规律，其时频分布的特征参量与信号的频域区间、对应的阶数和时频能量分布特性密切相关。相关结论进一步完善了PSWF信号的基础特性，如何充分利用挖掘出的PSWF信号时频分布特性，确定具体PSWF调制信号的检测边界和规则，研究基于PSWF信号时频分布特性的高效检测方法，是下一步研究的重点内容。

注：本文通讯作者为刘传辉。

参考文献

[1] SLEPIAN D， POLLAK H O. Prolate spheroidal wave functions， Fourier analysis， and uncertainty?Ι [J]. Bell system technical journal， 1961， 40（1）： 43?63.

[2] CHOLEWA M. Relation of average error in prolate spheroidal wave functions algorithm for band limited functions approximation to radius of information [J]. Lecture notes in computer science， 2015， 9119： 528?540.

[3] CHEN Zhaonan， WANG Hongxing， ZHAO Zhiyong， et al. Novel PSWF?based multidimensional constellation modulation for broadband satellite communication [J]. Wireless personal communications， 2016， 88（3）： 493?524.

[4] 王云良，王敏其.基于时频分析的高速运动点目标运动参量挖掘算法[J].现代电子技术，2015，38（20）：31?34.

[5] CHEN Yingpin， PENG Zhenming， GHOLAMI A， et al. Seismic signal sparse time?frequency analysis by Lp?quasinorm constraint [J]. Digital signal process， 2019， 87： 43?59.

[6] HUANG N E， SHEN Zheng， LONG S R， et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non?stationary time series analysis [J]. Proceedings： mathematical， physical and engineering sciences， 1998， 454（1971）： 903?995.

[7] LUBO Liu， MAOKANG Luo， LI Lai. Instantaneous frequency estimation based on the Wigner?Ville distribution associated with linear canonical transform （WDL） [J]. Chinese journal of electronics， 2018， 27（1）： 123?127.

[8] WANG Pu， LI Hongbin， HIMED B. Instantaneous frequency estimation of polynomial phase signals using local polynomial Wigner?Ville distribution [C]// 2010 International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications. Sydney， NSW， Australia： IEEE， 2010： 184?187.

[9] DUNSTER T M. Asymptotics of prolate spheroidal wave function [J]. Journal of classical analysis， 2017， 1（11）： 1?21.

[10] BENDORY T， ELDAR Y C， BOUMAL N. Non?convex phase retrieval from STFT measurements [J]. IEEE transactions on information theory， 2017， 64（1）： 467?484.