高等数学中求函数极值的教学案例——攀岩问题

张德燕，叶永升，崇金凤，姜广浩，安佰玲

（淮北师范大学，安徽 淮北235000）

0 引言

案例教学法最早起源于美国哈佛法学院，20世纪80年代引入我国。案例教学法就是以典型案例为基础撰写真实或虚拟的情景，让学生把自己纳入案例场景，进行师生问答、讨论等互动的教学过程，使学习者学习认知技能达到目标要求的教学方法［1-2］。美国的贝格教授认为，教授数学的真正原因是数学有着广泛的应用，有利于解决各种问题。学习怎样解决问题是学习数学的目的。案例教学就是在课堂教学中，引入具体实例，通过解决具体问题，让学生掌握数学应用于实践的思想和方法。要求教学中所选的案例符合实际生活，使学生真正能感受到数学来源于生活、又能经得起实践的检验。通过生动典型的案例分析，一方面，使学生掌握数学的基本知识，同时更深刻地理解知识的本质和内涵，并且将数学的思想和方法应用到具体问题解决中；另一方面，使学生真正体会到数学是“有用的”，从而激发一部分学生的学习兴趣和求知欲。因此，在课堂教学中，进行案例教学顺应了当代高等数学教育的要求，适应社会发展的需求，是非常有必要的。

高等数学是一门内容丰富、概念抽象、思维方式灵活多样、应用领域广泛的课程，十分有助于提高学生运用数学知识解决问题的能力。本文就高等数学中求二元函数的极值问题，以问题为中心的情境式教学设计原理作为基本思想，设计关于条件极值问题的教学案例。

1 案例教学的六个基本环节

根据教学目标以问题为中心来设计数学案例，主要包括六个环节：创设情境、问题构建、探索交流、解决问题、效果评价、拓展反思。每个环节的基本要求和目标参见表1。

表1 六个环节的基本要求及目标

2 教学案例——攀岩问题

根据案例教学基本理论，我们按照上面的六个环节设计利用拉格朗日乘数法解决攀岩问题的教学过程。

2.1 创设情境

近年来，随着全民健身运动的提倡，出现越来越多的攀岩爱好者。对于攀岩者，他们更喜欢冒险和挑战，正所谓无限风光在险峰。为了攀岩的难度达到极大，选择合适的出发点和攀岩的路线（方向）成为攀岩者必须要考虑的问题，这个问题我们称之为“攀岩问题”，也是这篇文章要构建的教学案例。

2.2 问题构建

以图1的山丘为例，从上面的陈述，我们已经清楚攀岩问题关键是在山脚下如何选择一个起点和一个攀岩的方向，使得攀岩的难度达到最大。

图1 山丘实图

针对此问题，著名的科学家华罗庚先生给出一个简单的优化方法“瞎子爬山法”，借该方法的思想做出巧妙而通俗的讲解，即盲人在爬山时会用拐杖对脚下附近四面八方轮流尝试，凭感觉找到向上最陡的方向就迈进一步，直到感觉朝哪个方向都不高了就说明到达山顶了。因此，在选择一个起点时，直观上就是在山脚下找到一点使得在这一点处有一个最为“陡峭”的爬山方向。基于此，建立空间直角坐标系，具体如图2所示。

图2 空间直角坐标系

设小山丘底部所在的平面为xoy平面，其底部所占区域为

小山的高度函数为

事实上，二元函数h(x,y)在区域D的任意边界点P处的所有方向导数中存在最大值，即梯度方向是方向导数达到最大值的方向，并且梯度gradh(P)的模就是函数h(x,y)在P点的最大方向导数［4］。故将选择攀岩的起点和方向转化为下面的两个数学问题：

（1）函数h(x,y)在哪个方向上的方向导数最大？

（2）在D的边界上找一点M使得h(x,y)的梯度的模达到最大。

2.3 探索交流

从上面的问题陈述中，看到此问题属于函数的极值问题。因此，首先带领学生一起复习与函数极值相关的内容，然后进行探讨分析，找到求此问题的具体方法。

2.3.1 复习回顾

关于函数的极值问题，一般有两类:无条件极值问题和条件极值问题。

对于多元函数的无条件极值问题，已经学习过基本的解法，简单来说分两步：第一步令函数的各个一阶偏导数为零，联立解方程组，从而求出函数的驻点。第二步判断驻点是否是极值点，从而求出函数的极值。对于多元函数的条件极值问题，最常用的方法是拉格朗日乘数法，一般的高等数学教材都会介绍［5-6］，如求二元函数z=f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的极值。

第一步，建立辅助函数

第二步，求可能的极值点。令辅助函数L(x,y,λ)关于x,y,λ的偏导数等于零，联立解方程组即可求出可能的极值点。

第三步，理论联系实际，判断函数在所给条件下的极值点，进而求出极值。

一般，会遇到利用拉格朗日乘数法求解带有m个条件的多元函数f(x1,x2,…,xn)的极值问题。上述的前两个步骤可以概括为以下两个公式：（1）辅助函数=目标函数+参数1×第一个条件函数+…+参数m×第m个条件函数，此时把辅助函数看作x1,x2,…,xn和m个参数的n+m元函数；（2）解方程组，即辅助函数关于n+m个自变量的偏导数=0。

2.3.2 探讨分析

讨论的极值问题可叙述为函数h(x,y)的梯度的模在D的边界曲线x2+y2-xy=75上的哪一点处取得最大值？这是一个条件极值问题，所以利用拉格朗日乘数法解决，其中目标函数为h(x,y)的梯度的模，条件函数为φ(x,y)=x2+y2-xy-75=0。

2.4 解决问题

根据梯度的定义，函数h(x,y)的梯度gradh(x,y)

于是h(x,y)的梯度的模函数为

注意到求这个模函数的极值问题就等价于求它的平方的极值问题。故令g(x,y)=5x2+5y2-8xy。

为了方便计算，可以先求函数g(x,y)在约束条件φ(x,y)=x2+y2-xy-75下的最大值。于是，建立辅助函数L(x,y,λ)=g(x,y)+λφ(x,y)=5x2+5y2-8xy+λ(x2+y2-xy-75)。

求L(x,y,λ)分别关于x,y,λ的偏导数，并令其等于零，得到方程组

由（1）+（2）得(x+y)(λ+2)=0，得到x=-y或x=y，代入（3）式得到可能的极值点为M1(5,-5),将这四个点代入比较得到是极大值点。因此，在处高度函数h(x,y)的梯度的模达到最大，最大值为

2.5 效果评价

通过探索交流，学生重温方向导数、梯度等基本概念，掌握了拉格朗日乘数法解决攀岩问题的过程，从而学会了利用拉格朗日乘数法解决类似的与条件极值相关的实际问题。

在案例中，老师通过引导学生回顾梯度与方向导数，让学生回忆起梯度这一特殊方向，即函数增大最快的方向，其反方向是减小最快的方向。回到攀岩问题，攀岩者实际上是沿偏导数组成的向量的方向攀岩，即攀岩路线的切线应与该向量平行。教师还可以提出一些变式题目，如：上面的攀岩问题中攀岩者如何选择下山的路线；求函数f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6及x轴所围成的闭区域上的极值。除此之外，可以让学生结合生活中的一些例子进行理解，如游乐场的娱乐项目滑坡，在坡体最高处找到一个极值点，沿着梯度的方向滑坡最令人刺激。

2.6 拓展反思

与极值问题相关的实际问题几乎都属于条件极值问题，如最大化收益、最大化满意度、最小化风险等问题。求这种极值问题常用的手段是拉格朗日条件极值法，在运用这一工具的时候，关键要找到实际问题与已学理论知识的桥梁，从而确定目标函数。

3 课堂思政

数学作为一门典型的自然科学类课程，所体现的科学精神与人文精神的融合是实现思政教育的重要载体［7］。以案例教学为切入点来掌握教学中的知识点，同时隐性地提升学生的综合素质，实现课程思政与高等数学的有机融合，是最为行之有效的方法［8］。在攀岩问题中，学生不仅能感受到攀岩者勇于自我挑战、攀登高峰的精神，而且能体会到学习数学要有不怕难题、敢于探索、追求真理的科学精神。之外，在复习理解函数的方向导数时，可以给学生呈现与之有关的大自然美景或名胜古迹，如迷人的长白山天池和壮观的池下瀑布，上海豫园的“九曲桥”，“九曲黄河万里沙，浪涛风簸自天涯”，“奇峰美景游人醉，千回百转行路难”。在感叹这些美景时，不仅领略到中国文化的博大精深，而且能体会到这些景观背后蕴含的数学理论。

4 结语

在高等数学的教学中，如果能够结合生活实际，恰当创设情境，让学生在一个真实的环境里思考和探索，可以调动学生的主观能动性，是帮助学生准确、深刻理解知识的一个重要途径［9］。众所周知，传统教学在高等数学的课堂教学中仍是一种有效的占据重要地位的教学方式，与案例教学相比各有利弊［10］，故在数学的传统教学中合理列举典型案例，并将传统教学和案例教学相结合，可以取长补短，能更有效提高学生的学习能力。本文设计了人们熟悉的攀岩问题，即攀岩者如何选择攀岩的起点。之后，通过案例教学的六个环节，结合传统教学模式，循序渐进地启发和训练学生的数学思维，从而帮助学生更好地将数学知识和方法学以致用，进行创新和创造。