低速非线性是低渗油藏的流动机制

李道伦，齐 银，达引朋，夏德斌，查文舒，檀结庆，卢德唐.

(1.合肥工业大学数学学院，安徽合肥 230009；2.长庆油田分公司油气工艺研究院，陕西西安 710018； 3.低渗透油气田开发国家工程重点实验室，陕西西安 710018；4.中国科学院大学工程科学学院，北京 100049； 5.中国科学院渗流流体力学研究所，河北廊坊 065007；6.中国科学技术大学工程科学学院，安徽合肥 230026)

在低渗透油藏开发中，关井压力双对数曲线上翘的特征受到学术界、业界的普遍关注。众多学者从实验、机理、应用等方面对此进行了研究[1-12]。

有研究认为：启动压力梯度是低渗油藏的流动特征，是压力导数曲线上翘的物理机制，而且启动压力梯度越大，曲线上升越高，上升得也越早。相关结论是基于叠加原理，对含启动压力梯度的渗流方程进行求解所得到的。这样，通过渗流理论的验证，就证明了实验所发现的启动压力梯度是低渗油藏流动的特征。启动压力梯度是指当压力梯度大于该阈值时，流体开始流动。

有研究认为：低速非线性是低渗油藏的流动机制。低速非达西渗流是由边界层、细微的喉道、非牛顿流体等因素共同形成的。一种观点认为，边界层导致非线性。另一观点认为，低渗油藏的喉道是一个分布，对应不同的启动压力梯度，从而整体上表现为非线性。随着设备精度的提高，更多的低渗样品实验表现出非线性特征[1-6]。

数值试井研究发现[7-8]：低渗储层不存在启动压力梯度。对含启动压力梯度的渗流方程进行数值求解，发现启动压力梯度使压力导数下掉，而低速非线性使压力导数上翘。该发现说明低渗储层不存在启动压力梯度。但这还不能否定启动压力梯度的存在性。低渗油气藏的孔喉半径是个分布，若每一孔喉对应一个启动压力梯度，其在宏观上仍可能表现出非线性。将低速非线性流动模型转换为动态渗透率，可以进行试井与值模拟研究[9-10]。亦有相关应用的研究成果[1-2,11]。低速非线性流动规律的反演方法及其在井网优化、注水优化中的应用研究有待加强。

1 启动压力梯度不是压力导数上翘的物理机制

1.1 流动方程

含启动压力梯度的Darcy方程有多种方式，最常用的形式如下：

(1)

式中u——速度，m/s；

K——绝对渗透率，m2；

μ——黏度，Pa·s；

p——压力，Pa；

λ——压力梯度，Pa/m。

单相油含绝对启动压力梯度的渗流方程可写为：

(2)

式中B——体积系数，无量纲；

t——时间，s；

Ф——孔隙度，%；

q——单位时间单位体积下的流量，1/s。

(3)

式中Jw——井指数，m3/(s·Pa)；

pwf——井底压力，Pa；

h——储层厚度，m；

re——井网格等效半径，m；

rw——井半径，m；

S——表皮系数，无量纲。

对试井，都是定井口产量Q(m3/s)，则耦合井储C(m3/Pa)的井控制方程为：

(4)

1.2 基于叠加原理的方程求解

叠加原理常用来求解关井段的井底流压随时间的变化情况，如图1所示。

图1 叠加原理示意图Fig.1 Schematic diagram of superposition principle

实际生产史为(图1a)：生产井以产量q生产tp时间后关井，关井时间为Δt。叠加原理的处理方式为(图1b)：生产井以产量q生产tp+Δt时间；在tp时间以后，虚拟井开始以-q的产量生产(即注入)，注入时间为Δt。生产井与虚拟注入井的井底压力在时间[tp,tp+Δt]上进行叠加，即得关井期间的井底压力。

叠加原理要求方程是齐次的，而含启动压力梯度的渗流方程不是齐次的，因而，叠加原理的适用性条件不满足，使用叠加原理存在误差[7-8]。

如图1b所示，用数值方法分别计算生产与注入的井底压力，然后进行叠加，得到井底压力。图 2给出了据此计算得到井底压力的例子。

图 2a所示为关井340 d的井底压力曲线，其中的tp和Δt分别为30 d、340 d，流量q为10 m3/d。首先，当绝对启动压力梯度为0.05 MPa/m时，用数值方法计算注入340 d的井底压力，再用数值方法计算生产370 d的井底压力；然后再用叠加原理将两个井底压力进行叠加，就可以获得井底压力曲线。图 2b所示为关井达12年之久的压力恢复曲线。可见，生产30 d，关井340 d的井底压力都不稳定，甚至关井12年之久的压力还不稳定。从物理上这不能解释。为什么30 d的生产(或理解为一种扰动)，过12年之久压力都不能稳定？这是由叠加原理应用于非线性方程的误差所导致的。

1.3 基于PEBI的数值求解

按图1a的方式进行数值求解，即按真实方式进行求解。具体的数值求解方法详见文献[7-8]， 这里仅给出结果。当开井时间tp和关井时间Δt皆为30 d、流量q为10 m3/d时，井底流压、生产段与关井段的压力及其导数曲线如图 3所示。

图2 叠加原理所计算的井底压力Fig.2 Bottom hole pressure calculated by superposition principle

图3 井底流压及生产段、关井段的压力与其导数曲线Fig.3 Bottom hole flowing pressure and log-log curves during production and shut in section

图3表明，生产段的双对数曲线上翘，与解析解一致，但关井段的压力导数下掉。这说明启动压力梯度不会导致低渗油藏压力导数上翘。

图3的结果很容易解释。关井后，远离井的区域，其压力梯度很快小于启动压力梯度，停止流动，可流动区域变小，从而地层压力逐渐平衡。

启动压力梯度是低渗油藏的流动机制的误解，主要来自两方面的原因：①早期实验设备精度有限，非线性部分测量不出来。②使用叠加原理后得到的试井曲线与实测曲线一致。这误导了我们：即使叠加原理不适应，但误差可能会很小，以至于可以忽略。

2 低速非线性渗流是低渗油藏压力导数上翘的物理机制

2.1 低速非线性渗流

众多学者研究了低速非线性渗流。如图 4所示，其中λmax为最大启动压力梯度，λmin为最小启动压力梯度，λpseudo为拟启动压力梯度。

低速非线性渗流模型非常多，作者给出的模型如式(5)[7-8]：

(5)

其中，

图4 低速非现象渗流模型Fig.4 Low velocity nonlinear seepage model

(6)

式中β——非线性因子；

n——非线性指数，为大于1的数。

更详细的渗流模型推导、数值求解格式，请参见文献[7-8]，这里仅给出算例。

2.2 海拉尔油田直井：有非线性渗流特征

海拉尔油田是典型的低渗透油田。在压力测试期间，井的含水率低于1%，可以认为是单相流。测试前120 d内的平均油产量为 0.98 m3/d，关井测试时间为15 d。主要的拟合参数见表 1。图5a给出了拟合的压力史，图5b给出了拟合的压力dp及其导数dp′曲线。在数据解释阶段我们主要调整渗透率、最大启动压力梯度λmax和拟启动压力梯度λpseudo来拟合中后期的压力导数。在这里，我们取λmin=0。

我们尝试确定最小启动压力梯度的唯一性。遗憾的是，由于关井时间不够长，λmin的唯一性不能确定。

表1 所拟合的参数Table 1 Fitted parameters

图5 压力及其导数拟合情况Fig.5 Fitted pressure and log-log curves

2.3 大庆油田致密油多段压裂水平井：无非线性渗流特征

大庆油田致密油区块采用多段压裂水平井方式进行开发。作者几乎解释了所有的早期的关井压力数据，在解释的过程中发现，使用常规的不考虑非线性的渗流模型就能解释关井压力数据，且与生产动态数据吻合。

利用地下永久压力计，某多段压裂水平井的180～245 d的生产流压数据及其拟合情况如图6所示，其中有约15 d的关井时间。可见，使用普通的渗流模型就能很好拟合，不仅能拟合期间的关井压力双对数曲线(图6b)，而且能拟合生产动态(图6c)。这充分说明了模型的合理性。

若使用非线性渗流模型来解释，所得到的初始压力太高，不甚合理。其中的原因有两点：①大规模体积压裂造成很多缝网，缝网的流动应是达西流。达西流遮掩了未改造区域中的非线性渗流。②由于没压裂改造的区域流动能力太低，因此未压裂改造区域成了泄油面积的边界。

2.4 长庆油田压裂直井：有非线性渗流特征

图7给出某直井的生产史、参数解释及验证情况。在压裂前后都进行了关井测压(图7中的1、3)，先对关井测压数据进行解释，反演地层和裂缝相关参数；然后进行生产动态数据验证(图7中的2、4)。这既能检验两次试井解释结果的一致性，还能检验解释结果是否满足生产动态。

首先，使用常规模型进行两次关井测压曲线解释，虽然两次都能拟合得很好，但解释参数压裂前后不一致，是矛盾的。可见，常规流动模型不能描述长庆油田的流动规律。

为此，采用低速非线性模型对压裂前后的关井压力数据进行解释，解释得到非线性、裂缝半长、井储、表皮系数等参数，符合压裂改造后的参数变化规律。

更为重要的是，利用压裂前的试井解释结果(图7中的1)，对生产历史进行了追溯(图7中的2)；利用压裂后的试井解释结果(图7中的3)，对产量进行了预测(图7中的4)。二者吻合得很好，进一步验证了非线性模型的正确性。

图6 生产数据拟合结果Fig.6 Fitted production data

图7 设计方案及其验证结果Fig.7 Test scheme and verification results

该算例的进一步研究发现，低渗储层由于非线性与压力改造原因，仅用渗透率已不能很好表征流动规律，需将非线性与渗透率来共同表征。相关成果已形成论文，正在评审中。

3 分子动力学模拟的结果

在高岭石长方体孔隙的原子模型中，引入高岭石、水和甲烷分子的分子动力学力场。如图8a所示，孔隙在Y方向为3.9 nm，在Z方向为4.3 nm。

长方形孔表面不尽相同，如具有硅氧烷氧基的上表面、具有铝羟基的下表面、具有B链边面的两垂直表面，从而高岭石和水分子在四个面所受到的力不尽相同。由于高岭石表面的硅氧原子比水对甲烷分子更有亲和力。纳米受限环境下的水膜在长方体孔型中形成了近似圆形的水通道[12]。

图8 纳米孔隙的水速流动Fig.8 Water velocity flow in nanopore

图8表明，在固液界面，有些水分子速度几乎为0，有些水分子速度大些。但整体上，速度是大于0的。可见，即使在亲水的4 nm左右的高岭石孔隙内，水分子也会流动。不过，在实验室的测试中，当流速很小时，可能难以测量。

4 讨论

压力导数曲线上翘是低渗透油藏普遍存在的现象。虽然很多情形都可能导致压力导数上翘，例如径向复合，但每口井都是径向复合很难解释。另外，试井解释的正确性判断依据之一是，基于所得到的参数能否预测油藏开发动态。对开发初期含水率几乎为0时，多相流的因素几乎可以忽略。剩下的因素只能是某种流动机理在起作用了。

启动压力梯度的概念有其历史的原因。首先，早期设备精度有限，微量的水很难测出，表现为启动压力梯度。其次，基于叠加原理的解析解的巧合，强化了启动压力梯度的概念。

已有学者认识到，含启动压力梯度的渗流方程不满足叠加原理，并开始研究新的叠加原理，使其能求解含启动压力梯度的渗流方程[13-14]。

启动压力梯度受到现场怀疑，其原因有：其与开发动态数据不吻合。若启动压力梯度存在，开井再关井，地层压力就不能平衡，这就成了某种意义上的永动机了，这与事实不甚相同。例如，在试油试采阶段的关井实测压力数据中，关井末点压力值往往很高，启动压力梯度难以解释。

若启动压力梯度为0.12 MPa/m，那么当100 m范围内的流体都流动时，压力损失可达12 MPa。假如地层初始压力为20 MPa，那么此时的井底流压应不高于8 MPa。若此时关井，无论关井多长时间，井底流压都不会高于8 MPa(假定无注入井)。这与很多实测数据所反映的规律是不相同的。

即使单一孔隙存在启动压力梯度，对实际油藏都表现出非线性流动特征。

遗憾的是，由于实测数据关井时间不够长，已见到的实测数据不能决定最小启动压力梯度是否大于0。这有待于验证。

没外来能量时，对低速非线性渗流模型，压力导数上翘也只是关井后某一段时间内的特征。若关井时间足够长，最终压力一定会平衡，压力导数一定会下掉。若油田能拿出一口井开展长期试验，就会证明这一点。否则，低速非线性渗流模型就不能描述低渗油藏的流动规律。

5 结论

(1)实际低渗透油藏不存在启动压力梯度。启动压力梯度使关井段的井底压力导数曲线下掉。

(2)低速非线性流动规律是低渗油藏压力导数上翘的物理机制。这为基于关井压力数据反演非线性流动规律提供了理论依据。

(3)在长庆等油田的应用表明，以非线性流动模型为内核的数值试井软件，能基于关井压力数据解释出非线性规律的参数，并与油藏开发动态很好地吻合。这说明非线性流动规律的正确性，且可为井网设计、注产优化提供科学指导。