论十二平均律的科学性

周泽楠

摘要：中国对于律学的研究有着悠久的历史，在缪天瑞先生的《律学》一书中他就根据中国律学的发展特点，将律学史分为了四个时期。分别是三分损益律发现时期、探求新律时期、十二平均律發明时期和律学研究新时期。而在研究律学史的时候，我们会发现由于其他律制本身存在一些缺陷，十二平均律的出现似乎是必然的，就让我们通过研究前三个时期的律制来谈谈十=平均律的科学性。

关键词：律学;三分损益法;十二平均律

春秋战国时期是三分损益的发现时期。在这个时期内，对于三分损益法最早的记载见于《管子·地员篇》（公元前475-前221年）。管仲在此书中提到：“凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽。有三分，去其乘，适足，以是成角。”

这段文字从数理的角度将宫、商、角、徵、羽五音的音高进行了说明，用数学公式表示出来就是：

宫1×3-4=81

徵81×4/3=108

商108×2/3=72

羽72×4/3=96

角96×2/3=64

实际上，这个公式计算的是管长，将一根管平分为三等分，长度增加管长的三分之一，则音高比之前低纯四度，而减少原管的三分之一，则声音比原来高纯五度。宫商角徵羽构成的五声调式音阶的音高正是根据这管长来决定的。

由于音乐不可能只用五个固定的音高进行创作，随着古代音乐的发展，人们为了满足需要，便在五声调式音阶的基础上继续使用三分损益法进行生律，加入了变徵和变宫两个偏音，构成了七声调式音阶。但随后人们又发现，一旦移动了这几个固定音的高度，就会造成移调的问题，所以为了能够旋宫转调，随后又生出五律，使一个八度内包含12个音，得到了我国最早的十二律。吕不韦所编撰的《吕氏春秋-音律篇》（公元前239年）对此亦有所记载：

“黄钟生林钟……三分所生，益之一分以上生;三分所生，去其一分以下生。黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上;林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。”

书中提到的“上生”是指振动物体的长度增加原先的1/3（即原来的4/3）;而“下生”则是说长度减少1/3（即原来的2/3）。依照这种方式算出的十二律如下：

黄钟81

林钟81×2/3 =54

太簇54×4/3 =72

南吕72×2/3 =48

姑洗48×4/3=64

应钟64×2/3 =42.6667

蕤宾42.6667×4/3=56.8889

大吕56.8889×4/3=75.8519

夷则75.8519×2/3=50.5679

夹钟50.5679×4/3=67.4239

无射67.4239×2/3=44.9392

仲吕44.9492×4/3=59.9323

清黄钟59.9323×2/3=39.9549

拿一根琴弦作比较，在它的二分之一处弹奏出来的音与整弦弹奏出的音是一个高八度的关系。因此十二律结束后的十三音清黄钟与黄钟的长度比值应该也是二比一，但实际上清黄钟并没有达到黄钟的二分之一（ 39.9549<40.5）。

分析上面的数据我们可以知道，自应钟开始我们所计算出的管长就是一个无理数，而后的所有数据自然也是基于这个无理数计算得来的，可以说应钟之后的每一个音都存在误差，这也就是清黄钟没能达到应有长度的原因。

正因此，这一时期的探索给后世留下了一个三分损益法不能旋相为宫的世纪难题。

第二时期是探求新律时期，大约是从公元前3世纪自公元14世纪，并且似乎由于古代数学在公元11世纪到14世纪期间发展到了鼎盛时期，律学的发展也得到了极大的鼓舞。

公元前77年，汉代律学家京房为了解决三分损益法产生的音差问题提出了京房六十律。他在十二律的基础上继续用三分损益进行数学演算，从“仲吕”之后向下生律，在推演到到第五十四律“色育”的时候就已经与首音的黄钟只差六分之一个古代音差，而后又为了符合八卦继续将之演算到第六十律“南事”。

南宋钱乐之也同京房一样，他在京房六十律的基础上又从“南事”再生三百律到了“安运”，最后算出的音差只差三十分之一个古代音差，比“小微音差”（两音分）还要小。

这两人虽然没有完全解决十二律旋宫转调的问题，但却将三分损益产生的音差减少到了极致。并且，从六十律计算到三百六十律就将音差从1/6缩小到1/30，在如今这个科技发达的时代，人们利用计算机未尝不能实现用三分损益反相为宫。当然了，就算能够实现，这也只建立在理论上能够解决音差问题，毕竟计算量太大，并不能运用于实际的操作之中。

继京房与钱乐之之后，人们逐渐意识到使用三分损益法并不能将十二旋宫换于黄钟，于是转而在十二律内部解决问题。

南宋律学家何承天可以说是“世界上最早用数学解决十二律的人”①。根据《隋书-音乐志》的记载，公元445年，他公开反对京房六十律，认为“京房不悟，谬为六十”②，并且提出将十二律之间的差数等分为十二份，并将之加在原先的十二律上，得到新律，是首个不使用三分损益法解决音差问题的人，迈出了律学史上新的一步。但是何承天新律也没有解决旋宫转调的问题，他将差数等分之后只是将黄钟与清黄钟之间变为1：2的关系，与其余的音并不是一个等比的关系，因此转调时也会移调。

在这个时期之中，关于律学的研究可以说是围绕解决三分损益产生的音差这一个问题而展开的。六十律、三百六十律与新律三者虽然没有完全的解决这一问题，但是也为后人的研究也提供了许多思路。

16世纪，是十二平均律的发展时期，明朝的朱载堉在《律历通融》（1581年）中提出了“新法密率”。他先将旧三分损益法中的分母缩小，求得十二律里面的五度与四度的比值，然后依照生律顺序求出十二平均律，而这样求出的十二律与今天的十二平均律完全一致。可以说这就是我国最早计算出的完全准确的十二平均律。

此后朱载堉在1596年编著的《律吕精义》一书里面，又将如何利用勾股定理和开方求得新法密率的计算方式进行了详细的论述。他先将十二律等分为十二份，之后将纯八度开平方，算出蕤宾的频率比为1.41421356（原朱载培将之计算到小数点后二十多位，这里只写到第八位），再由蕤宾开方得到南吕1.18920711;最后得到应钟1.05946309。这里我们就可以得出两个相邻的音的频率比为（约为1.0594631）。

由相邻两音之间的比我们可以算出十二律每个音的频率比为：

黄钟1

大吕 1.105964

太簇1.122462

夹钟1.189207

姑洗1.259921

仲吕 1.334839

蕤宾1.414213

林钟1 498307

夷则1.587401

南吕1.681792

无射1.781797

应钟1.887748

由于每半音之间的比值一致，明代朱载堉发明的十二平均律彻底解决了三分损益法不能旋宫转调的问题。

十二平均律更具有科学性主要体现在：1.转调上，十二平均律每个半音之间间隔一致，以任意一个音为首音都能构成平均律，因此转调更为方便;2.计算上，十二平均律以1.0594631的比值可以求出所有的音，比起三分损益法要更精确与简便。

当然，十二平均律也有他的不足之处，比如在和声上他没有纯律那么和谐，在单音音乐上也没有三分损益自然协调，但十二平均律在转调上的优势则是无可取代的。

注释：

①缪天瑞《律学》.

②《隋书·律历志》“上下相生，三分损益其一……而京房不悟，谬为六十，”