三角函数恒等变换的六种技巧

张小萌

解答三角函数问题往往需要进行一定的三角变换.这就要求同学们熟练掌握三角函数恒等变换的各种技巧.本文主要谈探讨了三角函数恒等变换的六种技巧.

一、角的变换技巧

在三角函数式的化简、求值和证明过程中，一般都会出现一些不同的角，这时我们要观察这些角之间是否存在和差关系、倍半关系、互补关系或互余关系.我们要学会利用这些角之间的关系进行变换，建立条件与结论中角之间的联系，从而迅速找到解答问题的办法.

例1.已知α∈π4，3π4，β∈0，π4，且cosπ4-α=35，sin5π4+β=-1213，则cos（α+β）=______.

解析：∵α∈π4，3π4，π4-α∈-π2，0，cosπ4-α=35，∴sinπ4-α=-45，

∵sin5π4+β=-1213，∴sinπ4+β=1213，

又∵β∈0，π4，π4+β∈π4，π2，∴cosπ4+β=513，

∴cos（α+β）=cosπ4+β-π4-α=35×513-45×1213=-3365.

解答三角函数求值问题的关键是，把“所求角”用“已知角”表示出来.当“已知角”有两个时，“所求角”一般可以表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时，我们应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，来进行变换.

二、函数名称的变换技巧

在三角变形中，有时需要统一三角函数的名称，即所谓的将不同名函数化为同名函数.常用的办法是切化弦或弦化切，即在同一个三角函数解析式中将正弦余弦与正切互化，使函数名称统一即可.

例2.4cos50°-tan40°等于______.

解析：原式=4sin40°-sin40°cos40°=4cos40°sin40°-sin40°cos40°

=2sin80°-sin40°cos40°=2sin120°-40°-sin40°cos40°

=3cos40°+sin40°-sin40°cos40°=3cos40°cos40°=3.

本题是求非特殊角的三角函数值问题，采用化弦为切的方法，利用两角和与差公式，求出它的值.同样的，我们也可以采用化切为弦的方法来解题.

三、 “1”的变换技巧

在三角变换中，常用的“1”的变换有1=   .究竟选择哪个公式进行变换，需具体问题具体分析，要根据题目的不同特征来确定.

例3.已知  ，求 的值.

解：由已知得 ，

=

=  = = .

这里把分母中的“1”用“ ”代替，分子中的“2”写成“2×1”后，再进行代换.

四、幂的变换技巧

对于次数较高的三角函数式，我们一般采用降幂处理.常用的降幂公式有 ， ，当然有时需要升幂，如对 的化简就要用升幂.

例4. 函数 的最小正周期是___;值域是___.

解析： =

= =

故该函数的最小正周期为 ，值域为 .

本题只有升幂才可将原三角函数化成 的形式，才能求出它的周期和最值.

五、公式变换技巧

对于三角函数公式，我们不仅要学会顺用，还要学会逆用和变用，这样可以达到拓宽解题思路，化难为易的目的.如由公式 ，可变为 ， ;由 可变为 ;由 可得 ，等等.

例5.（1+tan17°）·（1+tan28°）的值为______.

解析：原式=1+tan17°+tan28°+tan17°·tan28°

=1+tan45°（1-tan17°·tan28°）+tan17°·tan28°=2.

若三角函数式中，同时出现 与 ，常用 来求解.

六、结构变换技巧

为了更好地运用三角公式，我们有时需对条件进行结构调整，如重新分组、移项、因式分解、乘除互换、配方等.

例6 .设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα=1+sinβcosβ，则（   ）.

A.3α-β=π2    B.2α-β=π2    C.3α+β=π2 D.2α+β=π2

解析：由tanα=1+sinβcosβ，得sinαcosα=1+sinβcosβ，

即sinαcosβ=cosα+cosαsinβ，

∴sin（α-β）=cosα=sinπ2-α.

∵α∈0，π2，β∈0，π2，∴α-β∈-π2，π2，π2-α∈0，π2，

由sin（α-β）=sinπ2-α，得α-β=π2-α，

∴2α-β=π2.  故选B.

本题只有将tanα=1+sinβcosβ的结构打破，并结合三角恒等变换公式，才能导出α+β的关系式.

在進行三角恒等变换时，我们要注意对角、函数名称、“1”、幂、公式、结构进行相应的变换.同学们抓住这些关键点，根据题目的特征进行相应的变换，就可以优化解题的方案，提升解题的效率.

（作者单位：江苏省口岸中学 ）