巧用解析几何知识解答非解析几何问题

袁欣楠

高中解析几何的知识点较多，包含了直线与圆、圆锥曲线等.有些非解析几何问题运用解析几何知识来求解，可优化解题的方案，提升解题的效率.运用解析几何知识解答非解析几何问题，主要是将某些式子看作解析几何中的直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线的方程，然后利用解析几何中曲线的定义、性质、图形、公式等使问题获解.

例1.在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上.若 ，则 的最大值为（）.

解析：如图1，建立平面直角坐标系 ，则结合题意可知点 .

因为 ，由 得 ，

所以点 ，于是 .

又易知 ，所以 .

设 ，则 .

设 ，根据解析几何知识可知：直线 与圆 有公共点，

所以圆心（0，0）到直线的距离 ，

所以 ，解得 ，所以 .

解答上述例题的关键在于灵活利用变化中的不变量（即 两点之间的距离为定值）构建关于 和 的等式;然后借助直线与圆有公共点的充要条件，求得 的最大值.

例2设 ，其中 ， 是自然对数的底数，则当 变化时， 的最小值是__.

解析：构造点 ，则易知点 在函数 的图象上，点 在抛物线 上.在同一坐标系内分别画出 和 对应的图形如，图2.设抛物线 的焦点为 ，因为准线方程为 ，根据解析几何中抛物线的定义可得 ，所以 .

对 求导得 ，如图3所示，曲线 在点 处切线 的斜率 ，所以切线 的方程为 .

由 可得 ，又 ，所以 ，

所以 ，所以 .

故所求 .

本题具有一定的难度，求解的关键在以下两点：一是通过构造点和圆锥曲线，充分利用双变量代数式 的几何意义;二是借助曲线的切线以及图形的直观性，分析双变量代数式 何时取得最小值.在解含有双变量的代数式的最小值问题时，我们往往需要进行多次构造（如点、直线、圆锥曲线等），以便利用圆锥曲线的定义以及数形结合思想来使问题获解.

例3 .如图4，在 中，点 在边 上，满足 ，若 ，则 的面积为__.图4

解析：结合图形特点，我们可以先建立适当的平面直角坐标系，灵活运用有关解析几何知识与三角形面积公式来解题.

解：建立如图5所示的平面直角坐标系 ，根据解析几何知识可知：直线 的方程为 ，即 ;直线 的方程为 ，即 .

设点 ，点 ，则

的中点 的坐标为 ，从而可得

，即 .  ①

又由 得 .  ②圖5

结合 ，将①②联立可解得 ，所以点 .

故  .

该解法主要是从代数的角度对问题进行分析，利用直线方程求得有关交点的坐标，进而利用两点间距离公式得出结果.在处理解三角形中的有关长度、面积等问题时，如果利用正、余弦定理及面积公式较难顺利获解，可考虑灵活运用相关解析几何知识去探求解题的思路，简化解题的过程.

综上，关注解析几何与其他知识的交汇，可以启发我们从不同的角度去分析、解决问题.灵活运用解析几何解答非解析几何问题，不仅有利于培养数学抽象、直观想象以及数学运算等核心素养，还可以帮助我们提升解题的技能.

（作者单位：甘肃省白银市第九中学）