浅谈超几何分布与二项分布的区别与联系的教学

王家强

众所周知，辨别超几何分布与二项分布对很多初学者来讲是个难点，是概率这部分教学的一个重点和难点。而入门是关键，我们老师如何突破这个教学难点呢？我个人认为，选择一个典例进行教学非常重要，因而能否选择到一个典例关系到教学成功失败。下面谈谈自己关于这个问题的教学上一些做法，如何选例，如何引导学生思考与探究，努力锻造高效课堂。

一、 课本从来就是一个宝藏——从一道课本问题探究说起

人教版《选修2-3》的第二章的第2.2节习题的B组题中第3题：

某批n件产品的次品率为 ，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：

（1） 当 时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？

（2） 根据（1），你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？

过去对这道题目总是避开不敢讲，因为数据比较大，运算量大，感觉很“没有意思、浪费时间”，但不做不知道，我做完了这题之后发现这是“教材提供的最经典的习题”，利用它进行教学可以帮助学生更进一步理解超几何分布与二项分布的关系，因此，决定采用这个题目作为典例，在多媒体的支持下进行深入性教学。

解析：（1）在又放回的方式抽取中，每次都是从这n件产品中抽取，从而每次抽到的次品数 服从二项分布，即 ～ ，恰好抽到1件次品数的概率为

这一步让学生独立完成。第二问，小组合作，借助计算器进行运算解题。

在无放回的方式抽取中，抽到的次品数 是随机变量， 服从超几何分布， 的分布与产品的总数n有关，所以需要分三种情况分别计算：

第一小组：① 时，产品的总数为500件，其中次品数的件数为 ，合格品的件数为490.从500件产品中抽取3件，其中恰好1件次品的概率为

第二小组：② 时，产品的总数为 件，其中次品数的件数为 ，合格品的件数为 .从 件产品中抽取3件，其中恰好1件次品的概率为 .

第三小组③ 时，产品的总数为 件，其中次品数的件数为 ，合格品的件数为 .从 件产品中抽取 件，其中恰好1件次品的概率为 。

二、合作交流，形成结论

师：请同学们思考，通过以上三种情况计算，你们发现什么结论？

生：在上述的运算过程中，我们发现当产品的总数越来越大时，超几何分布的概率 的值越来越接近二项分布的概率

师：对！根据（1）的结果可以看出，用有放回的方式抽取，抽到的次品数 服从二项分布;用无放回的方式抽取抽到的次品数 服从超几何分布。在这里，两种分布的差别是“有放回”与“无放回”的差别，只要将概率模型中的“有放回”改为“无放回”，或“无放回”改为“有放回”，就可以实现两种分布的转化。所以“有放回”与“无放回”是两种分布转化的关键。

在人教版2-3中，超几何分布模型是这样建立的：若有N件产品，其中M件是次品，无放回地任意抽取n件，则其中恰好抽到的次品数是 是服从超几何分布;若将超几何分布概率模型中的“无放回地任意抽取n件”改为“有放回地任意抽取n件”，则它变为“二项分布”。

在上述的运算过程中，我们发现当产品的总数越来越大时，超几何分布的概率 的值越来越接近二项分布的概率 。当产品的总数很大时，超几何分布近似为二项分布。这也可以这样理解：

当产品数很大而抽取的产品较少时，每次抽出几件产品对数量巨大的样本影响甚微几乎认为不变，故次品率近似不变，因而每次抽取可以近似看出抽样的结果是相互独立的，抽出的产品数近似服从二项分布。

三、应用结论，解决问题

例1、（2010年广东理科高考数学卷）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490，495），（495，500），。。。（510，515），由此得到样本的频率分布直方图，

如图4所示。

（1） 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品总量。

（2） 在上述抽取的40件产品中任取2件，505克的产品数量，求Y的分布列。

（3） 从流水线上任取5件產品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。

分析：对于第三个问题我们很多同学存在着困惑：

从该流水线上任取5件产品，抽到的产品重量超过505克的产品数 究竟是服从超级分布还是二项分布？

现在结合前面的结论我来分析：从该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量，重量超过505克的产品数量为12，利用样本估计总体：该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，每次抽取得结果是相互独立的，所以从该流水线上任取5件产品，抽到的产品重量超过505克的产品数 是服从二项分布。

归纳：一般来说，有放回抽样与无放回抽样计算的概率是不同的，特别是抽取对象数目不大时更是如此;但在被抽取得对象数目非常大时，有放回与无放回抽样所计算的概率相差不大，人们在实际工作中常利用这点，把抽取对象数量很大时的无放回抽样（比如破坏性的炮弹试验发射，产品寿命试验等）当做有放回来处理。

四、结论拓展，升华思维

有趣的是：有N件产品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，则其中恰好抽到的次品数是 是服从二项分布，即 ～ ，其中 ，易得有N件产品，其中M件是次品，无放回地任意抽取n件，则其中恰好抽到的次品数是 是服从超几何分布，且 ，即这两种分布的数学期望是相等的。那么，它们的方差也相等吗？

因为二项分布的方差 ，超几何分布的方差 ，故一般情况下，它们的方差不相等。但是，可以发现在产品数很大（ ）时， 。

这说明：在产品数很大的情况下，超几何分布的方差近似等于二项分布的方差。

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