圆锥截交线的投影分析与作图方法

于淑静　韩加好

摘要：明确了圆锥截交线的类型;分析了圆锥截交线的三面投影方法，理清了绘图思路;通过典型圆锥截切体实例，对于不同形状的截交线，展现了具体的作图步骤、方法。

关键词：圆锥;截交线;截切体;投影

0  引言

在工程上含有圆锥截交线的零件有很多。为了正确清楚地表达零件的形状，必须正确地画出相应的截交线。[1]但由于其形状多样，较难绘制。下面我们通过一个典型圆锥截切体的投影分析与绘图过程，理清其绘制思路与方法。

1  圆锥截交线的类型

截交线可以通过单平面或多平面截切立体的方式产生。[2]当截平面与圆锥相交时，与圆锥的底平面产生的截交线是直线;与圆锥回转表面产生的截交线有圆形、椭圆、双曲线、抛物线和直线等五种情况。

2  圆锥截交线的投影方法

截交線的形状不同，其画法也不同。如果是圆形，则找到圆心和半径，再画出弧线;如果是直线，则先找到两端点的投影，再连接，如图1所示;如果是非圆曲线，则采用求点连线的方法，如图2所示。求点连线法，即先求出截平面与曲面上被截各条素线的交点，而后依次光滑连接。注意，要先找出特殊位置点，再补充一般位置点。所谓特殊位置点即最前、最后、最左、最右、最高、最低及轮廓素线上等一些点。[3]特殊位置点三面投影确定后，再在特殊位置点中间补画一般位置点;在各个投影图中依次光滑连接各投影点，即可完成其三面投影;最后完善图形，完成作图。

3  圆锥截交线的画法步骤

我们通过一个例子来学习圆锥截交线的具体画法。如图3所示，要求补画圆锥截切体的三面投影图。

第一步，几何分析。由已知条件我们可以得知，该截切体被截切之前是轴线竖直放置的圆锥，其中，V面是已知视图，H面和W面视图需要我们补画。

第二步，空间和投影分析。该立体被四个平面同时截切， M、P面为侧平面，N面为水平面，Q面为正垂面。各段截交线在V面视图均积聚为直线。

第三步，根据M、N、P、Q四个面的位置，初步判断截交线的形状。侧平面M平行于轴线，并切过锥底，截交线为双曲线和直线组成的封闭图形。水平面N垂直于轴线，与P面相交，截交线为纬线圆的一段。侧平面P面过锥顶和轴线，并与M、N面相交，截交线为两条素线段。正垂面Q平行于素线，并与P面相交，截交线为抛物线。

第四步，逐段画出各截交线的三面投影。为了便于看图，我们在实体图上把以下步骤中所取的点标示出来，如图4所示。按照先易后难的原则，我们先画相对简单的N、P面上的截交线。

第一段，水平面N上的截交线在V、W面积聚为直线，在H面投影反映实形，为一段纬圆弧。先找到纬圆弧在圆锥转向轮廓线上的点I、II、III在V面的投影1’、2’、3’。再根据投影关系，找到此三点在W的投影1”、2”、3”和在H面的投影1、2、3。从上往下看和从左往右看这些点都可见。在H面上，以s为圆心，以1s为半径，在左侧2、3之间画出纬圆弧。在W面上，直线连接2”、3”，即为纬圆弧在W面的投影，如图5所示。

第二段，侧平面P上的截交线是直线，在W面投影反映实形，在其它两面投影是类似形。先找到圆锥左右转向轮廓线被N、Q面截取的端点II、III、IV、V在V面的投影2’、3’、4’、5’，再根据投影关系，找到点IV、V在W的投影4”、5”和在H面的投影4、5，并找到点II、III在W面和H面的投影。从上往下看和从左往右看这些点都可见。然后在W面直线连接2”、4”和3”、5”，在H面直线连接2、4和3、5，即为截交线在两面的投影，如图6所示。

第三段，正垂面Q上的截交线是抛物线，在V面投影积聚为直线，在W、H面投影为类似形，所以我们采用求点连线法来画。先找到抛物线上前后转向轮廓线上的点IV、V和最高点VI在V面上的投影4’、5’、6’，这三点是特殊位置点。再根据投影关系，找到此三点在W的投影4”、5”、6”和在H面的投影4、5、6。然后找到两个一般位置点VII、VIII在V面上的投影7’、8’。注意，在求此两点在W、H面的投影时，可以采用辅助平面法或者素线法，此处我们采用辅助平面法。所以，在V面视图上，经过7’、8’点，作垂直于轴线的水平面，根据投影关系，在H面上找到纬线圆的半径，以s为圆心画弧。VII、VIII点是这个纬线圆上的点，根据从属性，可以找到这两点在H面的投影7、8。根据投影关系，找到VII、VIII点在W面的投影7”、8”。从上往下看和从左往右看这些点都可见。最后，在W和H面光滑连接各点，即为截交线在两面的投影，如图7所示。

第四段，侧平面M上的截交线是双曲线，在V、H面投影积聚为直线，在W面投影反映实形。先找到双曲线上的最高点I和最低点IX、X，在V面上的投影1’、9’、10’。这三点是特殊位置点。再根据投影关系，找到此三点在H的投影1、9、10和在W面的投影1”、9”、10”。再找到两个一般位置点XI、XII在V面上的投影11’、12’。求此两点在W、H面的投影时，可以采用辅助平面法或者素线法，此处我们采用素线法。因此，经过XI、XII点和锥顶S作直线，分别交圆锥底圆为A、B点。找到A、B点在V的投影a’、b’和在H面的投影a、b。继而找到SA、SB这两条素线在H面的投影sa、sb。然后，根据从属关系，找到XI、XII点在H面的投影11、12。根据投影关系，找到XI、XII点在w面的投影11”、12”。从上往下看和从左往右看这些点都可见。最后，在W面光滑连接各点，直线连接9”、10”，在H面直线连接9、10点，即为截交线在两面的投影，如图8所示。

第五步，完善图形。首先，由于P和Q面相交于正垂线，从上往下看和从左往右看都可见，所以要在H和W面上画出IV、V点之间的轮廓线。再补全圆锥的轮廓线。从左往右看，IV、V点以上的转向轮廓线被截掉，以下的要补全。且底圆积聚为一条线，可见，要补全。从上往下看，IX、X点以右的底圆轮廓可见，要补全。完成后如图9所示。

通过以上五大步，我们完成了圆锥截切体的三面投影图。

4  结论

求解圆锥的截交线，首先要明确截交线的空间形状，针对不同的形状采用不同的画法。尤其是在画非圆曲线时，要先找到截交线上的特殊位置点，再找一般位置点。并要会运用辅助平面法或者素线法找到一般位置点的投影。

参考文献：

[1]余敏.抓“四点”绘制曲面立体截交线[J].教育教学论坛，2016，2：184-185.

[2]韩飞坡，陈华，朱全.关于单平面截切基本体截交线教学探讨[J].赤峰学院学报，2019，35（3）：163-165.

[3]田福润，陈光，刘玉洁.圆锥截交线上特殊点的求法[J].长春工业大学学报，2011，32（5）：507-509.

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作者简介：于淑静（1979-），女，山东烟台人，硕士，讲师，研究方向为机械设计与制造。