怎样求解排列组合问题

王坤

排列组合问题是高考中的必考题目.因此，我们必须熟练掌握求解排列组合问题的各种思路和方法.解答排列组合问题，除了课本中最基本的加法原理与乘法原理外，基本上没有别的公式和原理可供使用，在解题时，我们必须根据问题的条件和要求，选择恰当的解题方法来解题，下面介绍几种解答排列组合问题的常规思路与方法.

一、捆绑法

当遇到了题干中的某几个元素必须排列在一起的问题时，解题的第一选择就是捆绑法.捆绑法是排列组合问题中常见的一种求解思路和方法，具体来说，捆绑法就是将必须排列在一起的几个元素“捆绑”在一起，将“捆绑”在一起的元素看作一个元素，然后将这个元素和其他元素进行排列组合，再将“捆绑”在一起的元素进行排列.

例1.现有8个节目，5个节目由大人表演，3个节目由孩子表演，要求孩子的节目要排在一起表演，问有多少种不同的表演顺序.

分析：由题目可知，在整个表演中，孩子的节目必须排列在一起，那么孩子的节目就可以看作是一个整体，先把孩子的节目这个整体与大人的节目进行全排列，再单独对孩子的节目全排列，最后将两个值相乘就是所求的答案.

二、插入法

若出现元素“不相邻”的问题时，我们可以采用插入法.插入法的主要步骤是，先把没有特殊限制的元素进行全排列，然后再把“不相邻”元素插入无特殊限制的元素的空隙中，其中要注意结合题目的要求，考虑首尾两端的空隙.

例2.某班级组织学生看话剧，总共有4位教师和8位学生，一排座位中，有12个座位，要求4位教师必须坐在8位学生中间，并且4位教师不可以坐在一起，总共有多少种不同的坐法？

分析：题干中提到的“不可以坐在一起”，提示了我们本题中涉及到的问题是不相邻问题，教师就是其中的特殊元素，学生就是没有特殊限制的元素，需要将教师的座位安排在学生的空隙中，然后对学生的座位和教师插空的座位分别进行全排列，最后将所得的结果相乘即可.

三、转化法

如果遇到比较复杂或者比较抽象的问题，我们就可以巧用转化法，把复杂的排列组合简单化，把抽象的排列组合直观化，将问题转化为常规的问题来求解.在遇到难题时，我们要恰当使用转化法.

例3.某学校的高一年级总共有8个班级，现学校要求高一年級组织一个篮球队，篮球队队员共12人，每个班级中至少有一个人参加，问篮球队队员的名额分配有几种方法？

分析：篮球队12人中，8个班级至少存在一人，那么就需要将12个队员分成了8份，将每份分给每个班级.我们可以把问题转化为将12个完全相同的球排成一列，在中间的11空隙处放8个完全相同的“隔板”，每个空隙只能放一个“隔板”，这样就可以将12个白球分成8份.而在11个空隙中分别放入8个完全相同的“隔板”有种方法;所以篮球队队员的名额分配有种方法.

以上介绍的几种方法是求解排列组合问题的常规方法.除此之外，求解排列组合问题还有很多的方法，如剩余法、排除法等.在解题过程中，我们要根据不同的题目、不同的条件和要求，选择合适的方法解题.而对于复杂的排列组合问题，我们还可以将捆绑法、插入法、排除法等几种方法巧妙结合，以帮助我们迅速解题.

（作者单位：江苏省泰兴市第二高级中学）