内外部表征视角下对数学高考应用题的分析

洪爽

摘要：数学应用题解决过程中，问题表征方式决定了解题策略的选择。问题表征分为内部表征与外部表征，外部表征主要通过文字表征、符号表征、背景表征、图表表征来影响应用题的解决;内部表征通过概念表征、命题表征、概念图表征和图式表征影响应用题的解决。不同的表征方式间结构特征的差异性，影响了应用题解决方式上的差异性，通过认识内外部表征将有助于解决实際应用题。

关键词：内部表征;外部表征;高考数学应用题

《普通高中数学课程标准》中明确提出要求：“高中数学课程应强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力”[1]。在新课程标准理念的指导下，高中数学教学更加重视学生的能力培养和应用意识培养，高考试题中也常以“生活化”的应用题考察学生的应用意识。

美国现代认知心理学家西蒙认为：“问题表征是问题解决的一个中心环节，它说明了问题在头脑中是如何呈现、如何表现出来的”[2]。

一般地，表征是指学习者对信息的记载以及表达方式，其中包含形式上的记录和呈现信息，以及过程上的运用和调整信息。因此，问题表征既是过程上对问题的理解和内化，也是形式上对问题理解的一种结果，即问题在头脑中的呈现方式[3]。问题的解决受问题表征质量的作用。在解决应用题时，学生通常将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，再通过求解数学模型达到解决问题的目的，在抽象为数学问题的过程中，学生需要进行恰当的表征以达到简化问题从而确立适当的解题策略。

目前大多数学者认同问题表征由内部表征和外部表征两部分构成这一观点，其中，内部表征表现为学习者对问题的大脑思考过程，而外部表征主要呈现形式为图形，表格、模型等。

下面将从外部表征与内部表征两方面对2019年数学高考应用题进行分析：

1外部表征对数学应用题的影响

Zhang[4]认为外部表征主要是情景中的结构以及知识点，具体可以表现为限制条件、物体、维度、外部规则以及物理符号等，在解决数学应用题中，也即将问题用图形、表格、模型等外部的形式表现出来。

1.1文字表征对数学应用题的影响

文字表征即能够将陈述性的描述转化为数学命题，这是问题表征的关键一步，对题目的理解将直接影响解题策略的选择与调控，表征恰当与否影响了解题的成败。

例1（2019年高考全国一卷理.15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是_______

【解析】本题给出了甲队在主、客场取胜概率，要求解甲队4：1获胜的概率，学生在文字表征时应理解甲队取胜概率受主客场影响，其次，还需对4：1进行重点表征，4：1表明了甲队在第五场必须取胜，且在前四场中输了一场比赛;学生阅读题目时应首先理解题目所提供的信息，理解并表征其中的关键字词，以便于选择正确的解题策略。

1.2符号表征对数学应用题的影响

新课改背景下，数学教育更加重视数学符号意识的培养，数学符号可以帮助学生加深数学概念理解，掌握数量之间的关系，简化并解决实际问题。数学学习与教学都离不开数学符号语言，数学形式化和符号化必需借助符号语言来体现。但由于数学符号语言高度的简洁抽象特征，当接触到含有大量符号的应用题时，学生在符号表征上易遇到阻碍，进而容易畏惧该类题型。

1.3背景表征对数学应用题的影响

弗赖登塔尔主张数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”[5]。他认为数学来源于现实，也必须扎根于现实，并应用于现实。如果在数学教育中完全脱离现实背景，则会徒增学生解题的难度，数学学习本身的意义也就难以体现。因此，高考数学应用题的编制须考虑实际生活背景的选用。对于一些实际背景的题目，当学生用现实的眼光来分析解决问题时，将有助于学生在体验生活化数学的同时，增强对数学学习的兴趣。

1.4图表表征对数学应用题的影响

图表表征是指对具体的问题用几何图形或者表格的形式表示，图形和表格具有形象直观，简洁明了的特点，在解决数学应用题的过程中，可使得题目的条件与结论之间的关系变得一目了然便于理解，使得解题过程简单化。

例2（2019年高考全国三卷文.4）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著。某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）

A.0.5             B.0.6            C.0.7D.0.8

【解析】本题要求解阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值，文本中涉及到《西游记》和《红楼梦》读者人数，阅读完文本后可发现文本数据是关于两大名著读者数及其数量关系的，可用线段图形式表征出来，如下图：

线段图具有直观、形象的特点，在解决应用题中能帮助学生掌握数量间的关系，分析明确题意，并在线段图的外部表征下，根据图中数据列出解决问题的关系式以解决问题。

2内部表征对数学应用题的影响

内部表征是问题解决者依赖已有的知识和经验，在大脑中思考问题的过程，这一过程受到注意、感知、记忆等心理过程的制约。问题的内部表征也是问题解决的关键，错误的或不完整的内部表征将会成为问题解决的内部障碍[6]。

舍菲尔德尤其强调知识的表述方式和知识的良好组织，仅仅在头脑中存在知识，并不能保证其能得到有效应用，丰富的知识并加以优化的结构才能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件，可见良好的认知结构有利于在问题解决过程中信息的提取和运用[7]。在某些情况下，过多的知识储备也会给学生带来较大的解题困扰，学生难以在众多的知识中寻找到与题目相关的知识结构。因此，学生在脑海中建立有序、有组织的知识结构能够为解题提供有效的帮助。

如下将从命题表征、概念表征、概念图表征、图式表征四个方面阐述内部表征。

2.1概念表征对数学应用题的影响

数学概念表征指对数学概念的表现形式，从不同层次和不同角度来表述数学知识点。喻平提出了概念域和概念系的定义：一个数学概念C的所有等价定义的图式，叫做概念C的概念域;一组具有数学抽象关系的概念网络的图式叫做概念系[8]。在概念学习中，学习者须从多角度、多背景下去深入了解概念，从而在头脑中形成概念体系，否则当从另一侧面去阐述同一个概念时，他们就会不得要领。有研究表明，学生在解题过程中的概念表征通常依赖于表象表征，也即依赖于数学概念表征的意象表征性，即学生会寻找一个或一系列的替代物来替代外来的数学概念[9]。

2.2命题表征对数学应用题的影响

喻平同时也提出了命题域和命题系的概念，他认为与一个命题等价的命题集的图式叫做这个命题的命题域;在一个命题集中，任意一个命题都至少与其它某一个命题有“推出”关系，就称这个命题集的图式为一个命题系[10]。命题网络是一种陈述性知识表征形式，是由若干个具备共同成分的命题相互联系而形成的。学生在学习不同的知识点时有可能会遇到相同的知识模块，如果能在脑海中对这些对应的知识模块进行良好的命题表征，对解题将会有很大的帮助。

2.3概念图表征对数学应用题的影响

概念图是由美国康奈儿大学诺瓦克教授等人提出的，是用于组织和表征知识的工具，它通常将某一主题的有关概念置于圆圈或方框之中，再以各种连线将相关概念和命题连接，从而形成了关于该主题的概念或命题网络，能够形象化地表征学习者的知识结构及对某一主题的理解[11]。概念图反映了某一领域知识的系统性和完整性，有助于学习者从整体上把握知识，领会所学内容的概念，和各个概念的层级及其概念间的联系;其次，概念图图形结构的直观鲜明特性，有助于促进学习者对知识技能的理解提升[12]。概念图作为知识表征的工具，在实际生活问题的解决中，能够帮助学生认识问题、了解问题，选取合适的解题策略解决问题。

例3（2019年高考江苏卷.18）如图，一个湖的边界是圆心为0的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆0的直径）。規划在公路l上选两个点P， Q，并修建两段直线型道路PB， QA，规划要求：线段PB， QA上的所有点到点0的距离均不小于圆0的半径。已知点A， B到直线1的距离分别为AC和BD（C， D为垂足），测得AB=10，AC=6， BD= 12 （单位：百米）.

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长;

（2）规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由;

（3）略

【解析】本题第（1）问要求解道路PB的长度，根据已知条件，学生在垂直条件下可以联想到直角三角形的勾股定理;第（2）问为判断P，Q选址是否符合规划要求，在适当添加辅助线后，学生可以发现图中包含较多的三角形，涉及知识点较多，学生可以对三角形的边、角及性质定理进行知识回忆，可得到如下图的概念图表征：

在该表征方式的作用下，学生可以在知识网络中迅速找到与问题相关的知识点，进而确定解题策略。概念图表征方式可以有效地提升学生的解题能力，增加解题思路与方法。

2.4图式表征对数学应用题的影响

在解决数学应用题的过程中，借助图式表征能够加强学习者对问题情境及相关信息的理解。图式推动了学生的信息加工，通过对新信息进行形象化精制，使之与其它信息（已有的知识、经验）相联系，一方面在现实生活元素和学生原有知识结构之间架起一座桥梁，另一方面又帮助学生用已有的认知结构去同化、顺应新信息，使学生能更好地学会知识并活用迁移[13]。

内外部表征在高考应用题解决中发挥着重要作用，外部表征能够帮助学生深入分析理解题目条件，进而为选择合适的解题策略奠定基础;内部表征可以帮助学生建立知识点间的联系，深入领会知识点在实际问题中的运用。在应用题教学过程中，教师可适当引导学生的表征取向，以增加解题思路和解题方法，进而选取最优方法解题。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2][3]胥兴春，刘电芝.问题表征方式与数学问题解决的研究[J].心理科学进展，2002，（3）：264-269.

[4]Zhang J. The Nature of External Representations in Problem Solving[J]. Cognitive Science， 1997， 21（2）： 179-217.

[5][荷]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬译.上海：上海教育出版社，1995.

[6]喻平，连四清，武锡环，中国数学教育心理研究30年[M].北京：科学出版社，2011.

[7]刘增来. 构建中学数学知识网络的实践研究[D].南京师范大学，2007.

[8][10]喻平，单墫.数学学习心理的CPFS结构理论[J].数学教育学报，2003（01）：12-16.

[9]罗新兵，罗增儒.数学概念表征的初步研究[J].数学教育学报，2003（02）：21-23.

[11]李和平，李峻峰，彭芳.概念图及其在知识表征中的应用[J].南昌高专学报，2006（03）：8-10+13.

[12]王兄.概念图评价应用分析[J].上海教育科研，2006（06）：64-66.

[13]盛力群.学与教的新方式[M].杭州：浙江大学出版社，2007.

课题立项：

本文是华南师范大学创新训练项目《心理机制对高中数学解题影响的实证研究》编号20190403的阶段性研究成果。