暗含玄机的“波利亚谜题”

林革

乔治·波利亚是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者. 他十分重视解题方法在数学学习中的作用，并对解题方法进行了多年的研究和实践，终于绘制出一张举世闻名的《解题表》，给出一套解决数学问题的一般方法与模式. 该表被各国数学界奉为解题宝典. 众多数学爱好者应用了该表，纷纷表示对该表的“奇效”心悦诚服.

下面介绍一则由波利亚设计的耐人寻味的数学趣题：某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上了山，最后又沿原路走回原地，假如他在平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，试求他5小时共走了多少千米.

大家知道，如果某人匀速走路，知道了他的速度和走的时间，则很容易求出他在这段时间内走过的路程. 可这道题中叙述的是比较复杂的情况，既有平路，又有上山，还有下山，更困难的是既不知他沿平路走了多少时间，又不知他上山或下山走了多少时间. 按照常规思路，这道题因条件不够无法解答. 事实果真如此吗？现在就让我们一起作一番探究吧！

首先，可以定性判断的是，上山比在平地走得慢，下山比在平地走得快，因而上山比在平地上走同样长的路程费时间，下山比在平地上走同样长的路程省时间.

其次，可以定量计算此人上山比在平地上走同样长的路程费的时间，与他沿原路下山比在平地上走同样长的路程省的时间哪个多哪个少. 由于上山的路程与下山的路程同样长，所以我们可以把上山、下山及在平地上走过单位长距离（比如1千米）所需的时间进行比较. 上山走一千米比平地走1千米多费的时间为 -  =  （小时），下山走1千米比平地走1千米少用的时间为 -  =  （小时）.

于是，我们发现此人上山多费的时间与沿原路下山所省的时间恰好抵消. 也就是说，题意的转化理解为：相当于他一直在平地上行走了5小时，因此他共走了4×5 = 20（千米）. 这种算术解法巧妙而又独特，连小学生也能理解.

而更具有一般性和应用性的方法是运用方程的知识来思考分析. 我们不妨设这个人5小时走的路程为x千米，他上山、下山各走了y千米，因为已知平地、上山、下山的速度，则全部行程中平地、上山、下山、平地这四段时间分别为，，，，显然 +  +  +  = 5成立，这个方程表面上是一个不定方程，但对此式化简后，y的系数变成了0，方程化为  = 5 ，可以求出x = 20. 这样解答的特点在于，把所有未知量都当作已知量进行顺向分析，思考时没有障碍，解答水到渠成.

也许，有的同学会对前面的算术解答情有独钟，那么必须指出的是：这道题目具有一定的特定性，若是题意条件发生变化，即若此人上山费的时间与下山省的时间不是恰好抵消，前面的解答就有待推敲了. 为了更好地说明这点，大家来看下面的这个问题：假如一只船在静水中航行的速度是每小时4千米，水流的速度是每小时3千米. 现在这只船先逆水由甲码头驶向乙码头，再顺水从乙码头驶回甲码头，问：此船在甲、乙两个码头间一个来回的平均速度是否等于它在静水中的速度？

我们把船在静水中的速度记为v静，把水流的速度记为 v水，则船在顺水行驶（往下游行驶）时的实际速度 v顺 = v静 + v水，船在逆水行驶（往上游行驶）时的实际速度v逆 = v静 - v水，因而在本题中v顺 = 4 + 3 = 7（千米/小时），v逆 = 4 - 3 = 1（千米/小时）.

如果我们把两个码头间的距离当作1，把船在静水中行驶类比为人在平地上行走，把船在逆水中行驶类比为人往山上走，把船在顺水中行驶类比为人往山下走，则在本题中会不会得出  -  =  - 这个类似上例的结论呢？根据题意条件知： -  =  -  = ， -  =  -  = ，可见 -  ≠  - ，因此此船在甲、乙两个码头间一个来回的平均速度不等于它在静水中的速度. 你明白了吗？也许还有同学接著问：那这两者究竟谁大谁小呢？好，我们再求出本题中的平均速度v.

设甲、乙码头间相距s千米，船从甲码头逆水而上驶至乙码头用的时间为t逆，回来用的时间为t顺，则 =  =  =  < 4，可见船在甲、乙两个码头间一个来回的平均速度小于船在静水中的速度.

也许有的同学仍然不依不饶：“如果把船速和水速这两个已知数改变一下，是否还有此结论呢？”看起来这倒是个值得探讨的问题. 我们不妨从一般性情形入手，来进行综合判断.  =  =  =  = v静 -  < v静，也就是说，无论什么情况下，只要船在流动的水面上行驶，先逆水再顺水行驶一个来回的平均速度永远要小于船在静水中的速度. 这下你清楚了吗？

（作者单位：扬州职业大学）