中考数学常考思想（一）

徐长春

数学思想方法是数学的生命和灵魂，是把知识转化为能力的桥梁，《数学课程标准》对此也明确提出要求. 因此对数学思想方法的考查是中考的一个重要内容，其中最常考的有三种：转化思想、数形结合思想、分类讨论思想. 本刊将分两期进行介绍.

一、转化思想

将一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象，具体表现在以下两个方面.

1. 化复杂为简单

例1 如图1，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠ABC = 2∠D，连接OA，OB，OC，AC，OB与AC相交于点E.

（1）求∠OCA的度数;

（2）若∠COB = 3∠AOB，OC = 2，求图中阴影部分的面积. （结果保留π和根号）

解析：（1）∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，∴∠ABC + ∠D = 180°，

∵∠ABC = 2∠D，∴∠D + 2∠D = 180°，∴∠D = 60°，

∴∠AOC = 2∠D = 120°，

∵OA = OC，∴∠OAC = ∠OCA，∴∠OCA =  = 30°;

（2）∵∠COB = 3∠AOB，∴∠AOC = ∠AOB + 3∠AOB = 120°，

∴∠AOB = 30°，∴∠COB = ∠AOC - ∠AOB = 90°，

在Rt△OCE中，OC = 2，

∴OE = OC·tan∠OCE = 2·tan 30° = 2× = 2，

∴S△OEC = OE·OC = ×2×2 = 2，

∵S扇形OBC =  = 3π，∴S阴影 = S扇形OBC - S△OEC = 3π - 2.

点评：求不规则的阴影部分的面积时常常将其转化为几个规则图形的面積的和或差.

2. 化新为旧

例2（2019·辽宁·沈阳）2019年3月12日是新中国第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗少6元.

（1）求甲种树苗每棵多少元.

（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？

解析：（1）设甲种树苗每棵x元，

根据题意得 = ，解得x = 40，

经检验：x = 40是原分式方程的解，

答：甲种树苗每棵40元.

（2）设购买乙种树苗y棵，

根据题意得40（100 - y） + （40 - 6）y ≤ 3800，解得y ≥ 33，

∵y是正整数，∴y最小取34.

答：至少要购买乙种树苗34棵.

点评：学习新知识时，要将其转化为已学过的知识.

二、数形结合思想

所谓数形结合是指将抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来，从而实现由抽象向具体转化的一种思维方式，主要表现在以下两个方面.

1. 以形助数

例3（2018·辽宁·沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + b的图象如图2所示，则k和b的取值范围是（ ）.

A. k > 0，b > 0 B. k > 0，b < 0 C. k < 0，b > 0 D. k < 0，b < 0

解析：∵一次函数y = kx + b的图象经过第一、二、四象限，

∴k < 0，b > 0. 故选C.

点评：根据所给一次函数的图象来判断k和b的正负，是解题的关键.

2. 以数助形

例4 在平面直角坐标系中，一次函数y = x - 1的图象是（ ）.

A   B   C   D

解析：∵k = 1 > 0，b = -1 < 0，∴函数图象经过第一、三、四象限，

故选B.

点评：通过一次函数的表达式来判断函数所经过的象限，是解题关键.