基于矩阵初等变换方法配方

朱红星

摘要：此篇文章旨在探究应用基于矩阵初等变换的方法完善线性代数中配方法求标准型流程，简化使用配方法求解复杂二次型步骤，主要适用于含有两个和三个变量的二次型。通过变量互换和换元相结合的方式将二次型的实对称矩阵化为符合特定条件的矩阵形式，进而可将二次型化为平方项和的形式，易得此二次型对应的标准型。

关键词：实对称矩阵;配方法;标准型

在线性代数求标准型中，常见方法有两种，一种是正交变换法，通过正交变换化成标准型;另一种是用配方法化标准型。本文主要讨论第二种方法中将二次型化成只有平方项的形式这部分，继续求解可得到标准型。

例如，二次型的配方过程如下：

若用矩阵等价变换来求配方后多项式，则过程如下：

a）令，则实对称矩阵A=;

b）对矩阵A作等价变换，化为阶梯型，在行变换过程中首行元素保持不变，则A～;

c）得到行阶梯型矩阵后，将每行首元作为完全平方项的系数，完全平方项为矩阵第k（k=1，2）行元素除以该行首元后与第k个变量的积的代数和的平方，

则可得：

以上只是两个变量二次型的特殊形式，推广到三元二次型的一般形式如下：对二次型，记该二次型对应的实对称矩阵为B，即B=

若且，则

B～。则二次型f经等价变换后的配方形式如下：

即当且时，任一三元二次型可经上述变换化成对应的配方形式，进而可得到其标准型。

b）若且，则根据二次型形式有以下两种处理方法

1）令与（或）互换，化为符合a）条件的二次型，用a）中方法计算即可。例如对二次型，令与互换，此二次型化为，用a）中方法求出，可得。

2）令，，，化为符合a）条件的二次型，用a）中方法计算即可。例如对二次型，令，，，此二次型化为，用a）中方法求出。

c）若且，则先将与互换，然后令，，，可化为符合a）条件的二次型，求解即可。例如对二次型，先将与互换，得，再令，，，此二次型化为，用a）中方法求出，即

d）若且，则先将与互换，然后判断符合以上a）、b）、c）哪种条件，用上述方法求解即可。例如对二次型，先将与互换，符合a）条件，得，则。

对n元二次型来说，该二次型对应的的实对称矩阵为，化为行阶梯型矩阵（初等变换只进行倍加变换，不进行调行和倍行变换）后，主对角线元素除第n行首元外全部非零，则可直接得到配方形式。否则，令其中某些元素互换，使其符合上述变换形式，或者时，作可逆线性变换，，（k=1，2，…n且），化为符合上述形式的阶梯型矩阵，进而可得到只含平方项的形式。

参考文献：

[1]张明，利用初等变换化二次型为标准型[J]，才智，2012（2）

[2]刘慧芳;王晓敏;二次函数无约束规划的一种直观解法[A];第九届中国青年信息与管理学者大会论文集[C];2007年

作者簡介：河北科技大学经济管理学院16级学生。