基于微分方程组的液态熔盐堆堆芯出口温度控制

曾文杰，姜庆丰，谢金森，于 涛,*

(1.南华大学 核科学技术学院，湖南 衡阳 421001；2.南华大学 核燃料循环技术与装备湖南省协同创新中心，湖南 衡阳 421001)

熔盐堆液体燃料盐的流动特性，使其成为完全不同于传统固体燃料反应堆的一种堆型。近年来，液态熔盐堆的研究得到了许多研究者的广泛关注。魏泉等[1]运用熔盐堆点堆动力学程序，研究液态燃料熔盐堆的运行物理特性；施承斌等[2]对 RELAP5 模型进行扩展，将其应用于液态燃料熔盐堆的建模分析。周波等[3]运用Mathematica 7.0开展对熔盐堆主回路衰变热特性的研究。Vikram Singh等[4,5]针对MSBR(MSBR：molten salt breeder reactor)和液态熔盐实验堆开展了系统建模和动态仿真分析。W.H.Sides[6]针对MSBR开展了堆芯功率控制系统的设计研究。液态熔盐堆中，液体燃料在主回路系统中流动，使得堆芯出口处燃料温度成为直接表征堆芯运行状态的参量。因此，开展液态熔盐堆堆芯出口燃料温度控制研究是必要的。

在设计堆芯出口燃料温度控制系统前，需先建立液态熔盐堆堆芯系统的数学模型。微分方程、传递函数和状态空间表达是连续系统的3种数学表达形式。其中，状态空间表达相当于微分方程线性化后忽略高阶扰动项的矩阵形式，状态空间和传递函数之间可以通过拉氏变换和反拉氏变换进行互相转换。为开展液态熔盐堆堆芯出口温度控制研究，直接基于堆芯微分方程组，采用MATLAB/Simulink[7-9]建立堆芯仿真系统，基于该仿真系统设计堆芯出口处燃料温度模糊PID控制器。以MSBR堆芯为对象，开展堆芯出口燃料温度控制仿真。

1 堆芯模型的建立

1.1 堆芯非线性模型

考虑液态熔盐堆液体燃料的流动性，依据图1所示，采用集总参数法建立堆芯非线性数学模型[6,10]。

图1 液态熔盐堆堆芯建模划分示意Fig.1 Modeling and partitioning of liquid molten salt reactor core

1.1.1 堆芯物理模型

基于点堆动力学模型，根据堆芯中子密度与缓发中子先驱核密度守恒原理，建立堆芯物理模型[6]。

(1)

(2)

公式(2)中，采用泰勒级数可以将时间延迟项转化为[6]：

(3)

将公式(3)代入公式(2)中，可以得到：

(4)

对公式(1)、公式(4)进行归一化处理可以得到：

(5)

公式(5)中[6]：

公式(1)～公式(5)中：中子相对密度Nr(t)=N(t)/N0；第i组缓发中子先驱核相对密度Cir(t)=Ci(t)/Ci0；N0、Ci0分别表示堆芯初始稳态中子密度、第i组缓发中子初始稳态先驱核浓度；t表示时间；ρ表示引入堆芯的总反应性；β表示缓发中子总份额；βi、λi分别表示第i组的缓发中子份额和缓发中子先驱核衰变常数；Λ表示中子代时间；τc、τl分别表示液体燃料在堆内流动时间和堆外流动时间。

考虑堆芯燃料的流动性造成反应性损失、控制棒移动引入反应性以及堆芯燃料、石墨的温度反馈反应性，建立堆芯总反应性的计算公式[6]：

ρ=ρ0+ρrod+αf(Tf-Tf(0))+
αg(Tg-Tg(0))

(6)

公式(6)中：

(7)

式中：ρ——堆芯的总反应性；

ρ0——堆芯燃料流动造成的反应性损失；

ρrod——控制棒引入的反应性；

下标f、g——表示燃料熔盐和石墨；

T——温度；

α——温度反馈系数；

T(0)——初始稳态时刻温度。

1.1.2 堆芯热工模型

依据图1所示，基于堆芯系统能量守恒原理，建立堆芯热工模型[6,10]。

(8)

式中：M——质量；

Cp——定压比热容；

Tf,in、Tf,out——堆芯进口处燃料温度和堆芯出口处燃料温度；

G——堆芯质量流量；

k——产热份额；

P0——堆芯初始稳态功率；

U——燃料和冷却剂间的换热系数。

公式(5)、公式(8)共同构成液态熔盐堆堆芯非线性模型。

1.2 堆芯微分方程组的实现

将堆芯微分方程组中每个变量看成：

X=X0+δX

式中：X0——系统变量稳态初始值;

δX——系统变量增量值，则可将堆芯微分方程组(5)、(8)转化为:

(9)

将微分方程组(9)中的第一个公式两边同时积分可得：

(10)

方程组(9)中表示的是系统参数增量之间的关系，运用MATLAB/Simulink建模时，应先选取输入输出量。以公式(10)为例，以缓发中子先驱核相对密度、反应性、石墨温度变化等作为输入值，相对中子密度偏差作为输出值，二者之间通过代数运算与积分运算相连接。在MATLAB/Simulink中对公式(10)进行模块搭建，如图2所示。

图2 公式(10)的MATLAB/Simulink模型图Fig.2 MATLAB/Simulink Model Diagram of Formula(10)

同理，将微分方程组(9)中的其他公式进行模块搭建，依据堆芯燃料流动及传热的基本性质将各个模块连接，建立堆芯仿真系统，如图3所示。

图3 基于MATLAB/Simulink液态熔盐堆堆芯系统Fig.3 Core system of liquid molten Salt reactor based on MATLAB/Simulink

2 堆芯出口温度控制系统设计

2.1 堆芯出口温度控制策略制定

以熔盐增殖堆MSBR堆芯为对象，其堆芯的基本物理参数如表1所示[6,10]。设计MSBR堆芯燃料出口温度控制策略。

表1 MSBR堆芯的基本物理参数

堆芯燃料熔盐温度由系统外界如电网等所需的堆芯负荷功率决定。在设计液态熔盐堆运行方案中，堆芯燃料出口温度随堆芯功率变化。为避免因燃料熔盐温度过低导致燃料熔盐凝固或因堆芯燃料温度过高难以保证堆内结构材料的完整性，因此无论是在高功率或是在低功率水平下，都必须保证堆芯出口温度值保持在一个合理范围内，确保熔盐堆堆芯在整个功率水平范围内安全运行。假设堆芯燃料出口温度设定值是一个随堆芯功率变化的函数[6]:

(10)

(11)

Prd——系统外界所需的堆芯相对功率值。

为了将堆芯燃料出口温度设定值与堆芯燃料进口温度测量值之间建立关系，假设堆芯相对功率设定值正比于两者之差。即：

(12)

式中：Pr,set——堆芯相对功率设定值；

A——比例常数，与堆芯燃料质量流量成正比。

堆芯相对功率实际运行值Pr与堆芯相对功率设定值Pr,set之间的偏差如公式(13)所示。

e=Pr,set-Pr

(13)

利用堆芯相对功率偏差信号设计堆芯功率控制器。在堆芯功率控制过程中，设定堆芯控制棒引入反应性的速率如公式(14)所示。

(14)

2.2 堆芯出口温度控制器设计

考虑到传统PID控制器的控制器参数不具备自整定功能，无法根据实际控制情况对参数进行实时调整。在现有基础上[11,12],基于熔盐堆堆芯微分方程模型，设计堆芯出口温度模糊PID控制器。模糊PID控制器结构图如图4所示，相对于传统PID控制器，模糊PID控制器可实时根据误差情况及误差变化情况对PID控制器的参数进行调整，以到达更优的控制效果。

图4 模糊PID控制器结构图Fig.4 Structure Diagram of Fuzzy-PID Controller

为简化堆芯燃料出口温度控制器的设计，仅将棒速程序单元作为一个增益为Kc的线性环节。采用Matlab/simulink[7-9]编制程序进行模糊PID控制器计算，建立的堆芯燃料出口温度控制系统如图5所示。

图5 基于模糊PID控制的堆芯出口温度控制系统Fig.5 Core Outlet Temperature Control System Based on Fuzzy PID Control

3 堆芯动态仿真分析

在100%FP堆芯功率水平下，引入100×10-5、200×10-5阶跃反应性时，得到如图6所示的响应曲线。从图中可知，在20 s时刻，引入阶跃反应性，堆芯燃料出口温度先急剧上升，后逐渐下降，最终稳定在堆芯出口温度初始值。在此过程中，相对功率偏差先瞬间增大，后缓慢下降，最终稳定在零值，其原因是设计的模糊PID控制器作用于控制棒，控制棒移动引入负反应性，堆芯燃料、堆芯石墨的温度反馈引入负反应性，抵消了引入的阶跃反应性。对比微分方程与传递函数的图形可知，在整个过程中，微分方程模型与传递函数模型的响应曲线相近。然而，微分方程的变化幅度略大于传递函数的变化幅度，在引入100×10-5、200×10-5反应性，二者相对功率之间的最大误差分别为0.061 7、0.176 6。这是由于基于堆芯线性化方程组建立的传递函数模型忽略了二阶及二阶以上的微小扰动项，而在基于堆芯非线性模型建立的微分方程组模型中，未做任何简化。

在100%FP功率水平下，引入堆芯燃料进口温度阶跃2 ℃、5 ℃扰动时，得到如图7所示的响应曲线。从图7中可知，引入堆芯进口温度扰动时，无论是传递函数模型还是微分方程模型，堆芯出口温度都在模糊PID控制器的作用下回到了初始堆芯出口温度值。而相对功率水平存在小幅度的下降。根据公式(12)可知，这是由于堆芯进口温度升高，而导致堆芯相对功率设定值降低。同时，由于整体变化幅度较小，故微分方程模型与传递函数模型变化趋势相近。基于上述仿真分析可见，基于堆芯微分方程组设计堆芯燃料出口温度控制策略的方法是合理可行的。

图7 100%FP功率下，堆芯进口温度扰动响应Fig.7 Core inlet temperature disturbance response at 100%FP

为验证仿真结果的可靠性，开展堆芯出口温度跟踪研究，通过设置堆芯出口温度的运行参考值，将仿真结果与堆芯参考值进行对比。在100%FP堆芯功率水平下，模拟在100 s 以前，系统按初始稳态功率运行，此时堆芯燃料出口温度设定值即为堆芯初始稳态出口温度，在100 s 时刻，将出口温度设定值按0.2 ℃/s的速率下降50 s后稳定运行150 s，在300 s时刻，设定值以同样的速率回到初始稳态出口温度水平，仿真结果如图8所示。从功率响应图可知，堆芯功率的运行参考值与堆芯功率模糊PID控制值相接近，未出现大的偏差。从温度响应图可知，系统在模糊PID控制下能实现对堆芯燃料出口温度的良好跟踪，可见采用模糊PID进行堆芯燃料出口温度控制是可行的。

图8 100%FP功率下，堆芯燃料出口温度跟踪响应Fig.8 Core fuel outlet temperature following response at 100% FP

4 结论

本文直接基于堆芯微分方程组设计液态熔盐堆堆芯出口温度控制系统。在Matlab/simulink中建立了堆芯仿真系统。以MSBR堆芯为对象，开展堆芯反应性扰动、堆芯进口温度扰动、堆芯出口温度跟踪的仿真。结果表明，三种扰动情况下，通过模糊PID 控制器的作用，堆芯出口温度、堆芯相对功率等参数最终达到稳定状态，并且堆芯微分方程模型与堆芯传递函数模型的响应曲线相近。可见，基于堆芯微分方程组建立的液态熔盐堆堆芯出口温度控制是有效的。