复解析小波变换的圆阵波达方向估计方法

胡政权，雷国平，陈友旺，刘 毓，冯丽源

(1.重庆三峡学院电子与信息工程学院，重庆 404100;2. 重庆三峡学院三峡库区地质环境监测与灾害预警重点实验室，重庆 404100;3.北京理工大学信息与电子学院，北京 100081)

0 引言

空间目标检测和波达方向估计一直是雷达、声纳领域中重要的研究课题，为了降低空间目标检测方法对原始信号最低信噪比需求，人们常采用布阵与信号合成方式提高输出信号信噪比，等价于降低了目标检测方法对原始信号最低信噪比需求[1-5]。在探测到目标的同时，人们也希望能够对空间目标方位实现估计；为了能够对360°水平范围内空间目标实现等分辨率波达方向估计，研究学者提出通过布放圆阵方式实现[6-7]。

为了提高圆阵波达方向估计分辨率，在信号处理方面，研究学者提出采用多重信号分类方法实现高分辨波达方向估计，并对该方法进行了工程化应用[8-12]。由于频域多重信号分类方法在对一帧数据对应协方差估计中，首先将一帧时域数据通过傅里叶变换转换为不同频点频域数据，实现频域压缩采样，然后再对每一频点利用频域单个数据求取该频点协方差矩阵，最后通过多帧频域数据累积实现协方差矩阵估计。该过程在空间数据非平稳时，难以通过频域多帧数据累积实现协方差矩阵估计，影响多重信号分类效果，对实际应用带来了一定的限制[13-14]。

为了提高多重信号分类方法在实际应用中的稳健性，研究学者从混沌优化思想[15]、自适应迭代加权思想[16]、压缩感知思想[17-19]、滑动平均思想[20]提高了多重信号分类方法的DOA估计性能，但以上思想均是对协方差矩阵构建进行处理，并未考虑在协方差矩阵构建之前进行处理，即未考虑如何在构建协方差矩阵中提高其稳定性。本文针对此问题，提出了复解析小波变换的圆阵波达方向估计方法。

1 多重信号分类方法

在圆阵目标检测与波达方向估计应用中，多重信号分类方法[21]是在噪声与目标信号非相关的情况下，首先利用特征分解对协方差矩阵Rx=E[XfXfH] 进行特征分解，Xf为由圆阵各传感器拾取数据的频域数据组成向量，(·)H为向量共轭转置；然后根据目标先验信息得到信号和噪声对应的特征向量Us和Uv；最后按式(1)获得搜索角度θ(0°≤θ≤360′)对应的空间谱值。

(1)

式(1)中，W(θ)=[ej2πfτ1，ej2πfτ2，…，ej2πfτN]为导向权向量。

(2)

2 复解析小波变换波达方向估计方法

2.1 基本原理

由傅里叶变换分析可知，对于一帧多个时域采样点数据经过傅里叶变换后，在频域同一频点只包含单个频域数据，再利用单个频域数据求取不同频点协方差矩时，容易出现非满秩现象。对此，本文采用时频分析处理方法，通过对一帧多个时域采样点数据的累积，提升协方差矩阵稳定性。

其次，根据相位与时延之间的关系，在搜索角度θ上，对各传感器时域复解析数据Y按τn=(rcos(θ-(n-1)α))/c进行时延补偿，c为声速，r为接收阵半径，α=2π/N，1≤n≤N，N为传感器数量，可得经时延补偿后数据。

(3)

式(3)中，φτ=[φτ1，φτ2，…，φτN]T，φ0=[φτ01，φτ02，…，φτ0N]，τ0n=(rcos(θ0-(n-1)α))/c，θ0为空间目标相对接收阵方位。

(4)

(5)

式(5)中，I1×N=[1,1,…,1]1×N为加法器，αn为合成空间谱过程中第n个子空间对应的判决因子。

2.2 实现流程

可分为以下几个步骤实现本文方法：

步骤1 对圆阵拾取数据进行复解析小波变换和分帧处理(相邻两帧之间按L=0.5I长度进行重叠处理)，得到K帧复解析数据Y，并令处理数据帧号k=1；

步骤2 按式(3)所示，在搜索角度θ(0°≤θ≤360°)上，对第k帧复解析数据Y进行时延补偿；

步骤4 按下式得到第k帧数据对应的各子空间空间谱Pn(k,θ)，1≤n≤N；

(6)

步骤5 搜索空间谱Pn(k,θ)，1≤n≤N在0°≤θ≤360°最大值，得到该子空间输出空间谱极大值：

pmax(k,n)=max[Pn(k,θ)]

(7)

步骤6 更新处理帧数据，k=k+1，重复执行步骤2至步骤5，直到k=K，则各子空间均得到K个空间谱Pn(k,θ)和极大值pmax(k,n)，k=1,2,…,K；

步骤7 求取各子空间输出空间谱对应判决因子αn,n=1,2,…,N；

(8)

步骤8 在无先验信息情况下，并利用各子空间对应判决因子αn,n=1,2,…,N实现对各子空间空间谱判决处理，得到下最终合成空间谱：

(9)

2.3 性能分析

令圆阵所在空间只存在1空间目标，空间目标相对圆阵波达方向为θ0，对应子空间编号为N。空间目标子空间输出空间谱在目标波达方向上对应的直流理想值[23]可表示为：

(10)

同样，由于空间噪声子空间不包含空间目标信号，其输出空间谱在任一空间方向上对应直流理想值可表示为：

(11)

由式(10)和式(11)可知，对于空间一定能量的目标信号，目标子空间输出空间谱极大值将远大于噪声子空间输出空间谱极大值，即：

Pn(k,θ)|n=N,θ=θ0≫Pn(k,θ)|n≠N

(12)

由式(12)可以看出，目标子空间对应判决因子αN=1，而其他子空间对应判决因子αn≠N=0，进而提升了目标子空间空间谱在最终合成空间谱中的比重。

2.4 数值仿真分析

为了进一步验证本文方法对有效数据帧和输入信噪比的宽容性，进行如下数值仿真分析。

仿真条件：接收阵为32阵元圆阵，圆阵半径为4 m，空间目标信号为800～1 000 Hz宽带高斯白噪声，目标信号长度0.1 s，目标信号与空间背景噪声谱级比为SLR(spectrum level ratio)，背景噪声为加性高斯白噪声，空间目标信号相对圆阵波达方向为180°。系统采样率为20 kHz，一次采样长度为1 s，MUSIC方法(文献[20]所述方法)由分子带数M=100，每一子带由76个数据帧(每个数据帧包含512个采样样本)实现，本文方法同样由76个数据帧实现，每帧采用复解析小波变换对圆阵拾取数据复解析变换处理，并在时域进行时延补偿和估计协方差矩阵。

图1为SLR=-30～0 dB情况下，由200次独立统计所得MUSIC方法和本文方法的检测目标成功概率。图2—图4为SLR=-16 dB情况下，由MUSIC方法和本文方法所得时间历程图和单一时刻空间谱，图5为本文方法通过极大值判决处理所得不同子空间判决因子αn。

图1 MUSIC方法与本文检测目标成功率Fig.1 Detection success probability of this method and MUSIC method

图2 MUSIC方法所得方位历程图Fig.2 Bearing time record of MUSIC method

图3 本文方法所得方位历程图Fig.3 Bearing time record of this method

图4 2种方法输出空间谱Fig.4 Output spatial spectrum of the two method

图5 本文方法处理所得加权因子αnFig.5 The judgment factor αn of this method

由图1结果可知，对于相同的检测目标准确率，相比MUSIC方法，本文方法输出空间谱对最低信噪比要求降低了5 dB以上。由图 2—图4结果可知，MUSIC方法对目标检测效果远差于本文方法，且背景噪声谱级较大，原因在于数值仿真信号平稳时间较短，不能满足MUSIC方法对多个数据帧的时间要求，导致失配现象产生。另外，本文方法通过图 5所示判决因子αn对各子空间空间谱进行处理，有效提升了编号32子空间(空间目标信号子空间)空间谱在最终合成空间谱中的比重。

3 实测数据处理

为进一步验证本文方法性能，下面分别利用本文方法和MUSIC方法对某次试验数据进行处理并作对比。试验中，接收阵为32阵元圆阵，各阵元均匀分布于圆阵上，圆阵半径为4 m，系统采样率为20 kHz；MUSIC方法的协方差矩阵估计过程为：每次估计采用40 k个采样数据进行，首先将数据分帧，每帧数据为1 024采样点，数据帧之间重叠512采样点，作傅里叶变换后选取800～1 200 Hz频段，然后对每个频点作协方差矩阵估计；本文方法通过复解析小波变换选取800～1 200 Hz频段，并按2.2节所示流程采用每帧1 024采样点数据进行处理。图6和图7分别为MUSIC方法和本文方法所得时间历程图，图8为单一时刻2种方法输出空间谱。

由图 6—图8可知，相比MUSIC方法，本文方法输出结果中空间目标航路清晰可辨，空间目标波达方向明晰可辨，可有效对30°，60°，90°，270°附近目标实现检测，且背景噪声谱级较低。该结果进一步证明了本文方法在实际应用中的可行性。

图6 MUSIC方法所得方位历程图Fig.6 Bearing time record of MUSIC method

图7 本文方法所得方位历程图Fig.7 Bearing time record of this method

图8 2种方法输出空间谱(t=20 s)Fig.8 Output spatial spectrum of the two method(t=20 s)

4 结论

本文提出了复解析小波变换的圆阵波达方向估计方法。该方法通过复解析小波变换将圆阵拾取数据转换为一定频带复解析数据；在时域对复解析数据进行时延补偿，并采用多采样点累积处理方式对时延补偿后复解析数据构造协方差矩阵；对协方差矩阵进行特征分解，并对分解所得各子空间特征向量进行累积求和，获得各子空间获空间谱；对各子空间合成空间谱进行极大值判决处理，提高目标子空间空间谱在最终合成空间谱中的比重。