基于有限Fourier级数的航天器转移轨迹设计*

吴爱国，董 西

(哈尔滨工业大学(深圳)机电工程与自动化学院· 深圳·518055)

0 引 言

深空探测是指人类对月球、火星及其他天体或空间环境所进行的探测活动，是航天领域重要的发展趋势之一[1]。深空探测活动不仅可以帮助人类了解宇宙和太阳系的发展和演变，而且在进行空间资源开发和技术创新方面有着重要的科学和经济价值。深空轨道的设计和优化方法不仅决定着航天器能否成功转移，也会影响转移过程中航天器的转移时间、能量消耗等，是行星探索活动中的一项关键技术。

改进的逆五阶和六阶多项式法[5]改善了逆多项式形状法无法实现多圈转移的缺点。文献[5]在二体模型中将长半轴表示为逆五阶或逆六阶多项式的形式，通过在初始和末端位置引入一个单调系数，满足使得轨迹半径始终增大的要求，以满足轨迹进行安全转移，适用于小推力共面轨道的多圈转移问题。但针对交会时间短的情况而言，可能不存在解。同时，随着转移圈数的增多，速度增量也会越来越大，存在不收敛的问题。Petropoulos等人提出的指数正弦形状法[6]是一种含有4个参数因子的初始设计方法，但是后验决定的推力并不能由设计任务精确描述。文献[7]将形状法应用于速度向量而不是径向向量上，对速度向量进行有限Fourier分解，然后对速度向量进行积分并得到径向向量的表达式，再结合遗传算法搜索到合适的初始猜测值。文献[8]根据火星探测器的初始与末端的位置、速度矢量和转移时间，利用基于逆六阶多项式的二维形状法建立了火星探测器的异面转移轨迹。在小推力交会问题中，也可以将末端速度分量作为优化参数来求解所要求的推力加速度和推力指向角β。文献[9]对指数正弦形状法的收敛性和伪二分法的可行性进行了分析，针对小推力重力协助问题，提出了一种新的算法并进行了最优分析。文献[10]分析了利用指数正弦形状法求解小推力固定时间轨道转移情况下的Lambert问题的动力学可行性，证明了推力方向角的正切值在某一范围内且推力大小无限制的情况下是可行的。

相比形状法，基于Fourier级数的设计方法可以对大量的自由参数进行求解，通过找到相应的Fourier展开式系数来找到满足限制条件的解。其缺点是，当没有解时，有限制条件的Fourier变换问题需要更多的时间来确定没有解，使得计算时间大大增加。文献[11]在球坐标系下建立了基于Fourier级数的近似模型进行初始设计，再利用遗传算法通过种群的迭代来得到转移轨道的初始猜测值，使得即使在Fourier展开式系数很少的情况下，也可以得到次优的火星转移的三维初始轨迹，节省了计算时间。高斯伪谱法[12]和各种优化控制方法[13-14]也被应用于求解航天器的转移轨迹。

本文提出了一种基于有限Fourier级数的形状法来进行航天器转移轨迹的初始和优化设计，将转移轨迹中径向大小和转移角之间的关系用有限Fourier级数展开，根据已知的初始和末端参数进行两点边值问题的求解。在初始设计中，选择最小的有限Fourier级数项数求解转移轨迹的初始猜测值。在优化设计中，将Fourier级数的未知项数、转移时间、最大推力加速度等作为约束条件，将最小速度增量作为目标函数，利用所得的初始猜测值进行小推力多约束多圈转移问题的求解。该方法的创新性表现为如下几个方面：

(1)利用有限Fourier级数求解了航天器小推力多圈转移轨迹的转移径向大小和转移角之间的关系，有别于将转移轨迹径向和转移时间、转移角度和转移时间之间的关系进行分开研究的方法；

(2)提出的基于有限Fourier级数的设计方法比较了在不同参数取值下的所得出的结果，利用数值结果形象直观地说明了转移轨道初始设计的好坏对优化设计的影响；

(3)将提出的方法与逆五阶多项式形状法进行了比较，在利用更小的最大推力加速度的条件下，本文所提出的方法可以减少航天器在转移过程中75%的速度增量。

1 数学模型的建立

航天器在极坐标下的运动模型为

(1)

式中，r为径向大小，θ为极角，μ为地球引力参数，γ为飞行路径角，Ta为推力加速度大小，α为推力方向角。径向r对转移时间t求一阶导数可得

(2)

(3)

将飞行路径角的正切值tanγ对极角θ进行一阶求导和二阶求导，分别可得到

(4)

(5)

(6)

由式(1)和式(6)，可得

(7)

将式(7)代入式(1)，可得

(8)

假定推力方向是与速度方向一致的正切推力，即满足α=γ+nπ，可得角速度满足式(9)

(9)

(10)

代入航天器的运动模型式(1)，可得正切推力加速度为

(11)

火星探测器到达最终位置所需要的飞行时间tf和速度增量ΔV可以表示为式(12)和式(13)

(12)

(13)

2 设计方法

2.1 转移轨迹的初始设计

本节采用三阶有限Fourier级数来模拟正切小推力作用下所求得的转移轨迹中航天器的径向大小和转移角之间的关系。假设在不存在时间约束的情况下，通过初始和末端的径向大小、转移角度、切向角六个参数来设计初始轨迹形状。由于初始项未知数的存在，三阶有限Fourier级数中含有7个未知数，则存在一个不确定的参数取值，本文选择并比较了四种不同参数进行初始设计时带来的不同的结果。

三阶有限Fourier级数的表示形式如下

(14)

其中，a0,ai,bi,i=1，2，3是需要根据初始和末端条件求得的7个未知数。将初始位置和末端位置的转移角度的取值θ=θ0(θ0=0)和θ=θf分别代入式(14)及其一阶、二阶导数后，得到下式

(15)

(16)

由式(3)和式(9)，将径向大小r对转移角θ求一阶和二阶导数后可得

(17)

当θ=0时，即当航天器处于初始位置时，可得

(18)

当θ=θf时，即当航天器处于末端位置时，可得

(19)

为简化运算的表达式，令

(20)

由式(15)～式(20)整理得到仅含a0,ai,bi,i=1，2，3的六个等式，利用解方程组的方法可以得到

(21)

剩下的3个待求未知数可以表示为

b1+2b2+3b3=C

-b1+2b2-3b3=D

(22)

可以得知，b2有唯一解b2=(C+D)/4。本文所提出的方法(简写为FFS-3初始设计)在进行航天器小推力多圈转移轨迹的设计时，应满足等式b1+3b3=(C-D)/4。为了计算的简便，选取了与式(20)相关的4组参数值，在第4节中将利用这4组满足条件的参数值进行仿真。

2.2 转移轨迹的优化设计

在航天器小推力多圈转移过程中，转移轨迹呈螺旋状且具有周期性。根据法国数学家Fourier所提出的理论可知，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。根据初始设计所得出的初始迭代值，选择恰当的初始猜测值进行航天器小推力多圈转移轨迹的优化设计。将有限Fourier级数的未知项数的个数、转移时间和最大正切小推力等作为约束条件，以速度增量最小作为优化设计的目标函数，即将转移过程中速度增量的最小值作为优化目标，得出多约束条件下的小推力多圈转移轨迹。基于有限Fourier级数的形状法可将航天器在转移过程中的径向大小r和转移角θ之间的关系表示为

(23)

对式(23)中的径向大小r对转移角度θ分别求一阶导数和二阶导数，并得到结果如下

(24)

将初始位置和末端位置的转移角度的取值θ=θ0(θ0=0)和θ=θf分别代入式(23)和式(24)，可得

(25)

(26)

根据式(25)和式(26)确定有限Fourier级数的6个系数，即还存在2nr-5个系数没有被确定。利用所提出的优化方法(简写为FFS-nr优化设计)，联立式(14)和式(23)可得关系式

将转移角度θ等分为nr份，将M作为三角函数中角度的系数，将FFS-nr表达式中的近似系数用矩阵来表示

X=F-1Y

其中

X=[a0,a1,a2…anr,b1,b2…bnr]T

F=

利用猜测矩阵可以辅助求解余下的2nr-5个未知的系数。

3 仿真试验及结果分析

3.1 仿真结果

选取初始发射点的轨道根数为a1=3DU,e1=0.6,ω1=30°，末端终点的轨道根数为a2=6DU,e2=0.6,ω2=30°，并给定初始位置为330°，终端位置为120°，最大转移圈数为Nrev=5。通过MATLAB进行2.1节中初始设计的仿真，得出4种参数的取值情况所计算出的不同参数下的转移速度增量ΔV、转移时间tf和最大正切小推力加速度Ta(max)的值如表1(FFS-3初始设计仿真结果)所示。假设2.2节优化设计中有限Fourier级数的项数为nr=10，以转移时间大于200TU小于1200TU、最大推力加速度小于0.02(DU/TU2)为约束条件，以最小速度增量ΔV作为目标函数进行了优化，目标函数fmin为

fmin=minΔV

约束条件为

利用MATLAB中的Fmincon函数得到的仿真结果如表1(FFS-10优化设计仿真结果)所示。

选取相同的参数、利用逆五阶多项式形状法进行仿真，并与表1中b1=C/2,b3=-D/6的结果进行比较，结果见表2。

表1 基于Fourier级数的小推力多圈转移轨迹的设计(Nrev=5,nr=10)

表2 本文提出的设计方法与逆五阶多项式形状法的比较结果

三种设计方法所得到的正切推力加速度变化如图1所示。

(a)逆五阶多项式形状法

3.2 结果分析

从表1中的数据比较可以发现，不同的参数取值会导致不同的初始设计结果，而由初始设计得到的不同轨迹表达式的初始猜测值将会影响所求目标轨迹的优化设计。在进行航天器转移轨迹的设计时，相对精确的初始猜测值不仅可以减少转移时间，还能利用较小的推力值实现转移目标，并利用较小的速度增量达到转移的目的。由表2可知，相比逆五阶多项式设计方法，本文提出的基于有限Fourier项数的航天器小推力转移轨迹形状法的速度增量更小。当航天器小推力多圈转移的转移圈数为5圈、有限Fourier级数的未知项数为10时，可以减少近75%的转移速度增量。

4 结 论

本文提出了一种基于有限Fourier级数的形状法，描述了航天器转移轨迹的径向大小和转移角之间的关系，并进行了航天器小推力多圈转移轨迹的设计。通过选择不同的参数值，完成了小推力航天器多圈转移轨迹的初始设计和优化设计，从数值上比较了由转移轨迹初始设计得出的初始猜测值对优化设计结果的影响，得出了精确的初始猜测值可以实现更佳转移目标的结论。但是，本文未考虑具有时间限制的转移轨迹的设计问题，也没有考虑非共面、非同轴、具有不同离心率等情况下的转移轨迹初始设计和优化问题，因此后续将继续基于本文提出的有限Fourier级数形状法进行进一步研究。