发现生活中的数学之美

张继平

//生活中的对称之美//

我研究群论，群这个概念是数学学科最基本的概念之一，群论是在研究数学上认为所谓的对称学，所以说今天我给大家先讲对称之美。我们知道这个世界是充满美的，美有很多的准则和标准，对称就是其中最重要的一个标准。对称这个词本身，现在我们简单地说是从英文的symmetry翻译过来的，它是指物体的各部分恰当对应产生的美感。

雪花，蝴蝶，星系，都是具有对称之美。这些是大自然提供给我们的，但是我们人类在历史发展的长河当中，创造了更多的美。有一个说法是，对称法则是设计的黄金标准，无论是建筑设计，还是其他各方面设计。我们的故宫、鸟巢，印度的泰姬陵，这些当中都有太多的美、对称。另外一个是《蒙娜丽莎》，这幅画是美的经典，美的化身。那么它也是有它非常令人惊奇的对称之美。就是在她的头上，有所谓的黄金分割的螺线。这个螺线无论是左和右，都能够很好地体现这种美的要求。这些都是在设计等等各方面，同时对称还是一种思维方式。

我举一个例子，我们都知道有一个物理学家，叫德布罗意。在1923年，他就完全地按照对称思维的这种法则去思考：光有波动性，但它也是一种粒子，它有粒子性。德布罗意就想，所有其他的物质粒子，它们是不是也有波动性呢？德布罗意在他的博士论文当中就提出来这个问题，这就是所谓的著名的物质粒子的波粒二象性。最后经过实验证明这个是完全对的。德布罗意在1929年获得诺贝尔奖，他这一个是一种思维方式来指导他有这样的科学研究上的成果。很多学化学的对元素周期表一定是爱不释手，觉得它妙不可言，我也是这样认为。但是我要告诉大家的，那个周期表做出来，今天我们知道也和对称有关系。门捷列夫做这个周期表的时候，他那个时候做了很多实验，做了很多的分析，把元素周期表根据原子量、原子序数等等进行排列。挺好的，很妙的，但是在它背后，实际上我们今天知道用不着那么多的实验。我们知道利用库仑力的旋转对称就可以来决定。这个元素周期表当中的这个周期2、8、18、32，是可以用这些东西来决定的，那就要省事多了。所以说对称无论是在生活中，还是在科学上都是相当美的。

//什么是群论？什么是对称多项式？//

既然是这么一个美的事情，这么重要的一个现象，我们在数学上就必须有描述它的工具。数学上认为所谓的对称是在运动变换下不变的一种特性，研究这种不变性的学科就叫群论。我们可以有一点这个感性认识，我们今天演播厅，比方说我们有300个同学，正好今天有300个位置，那么我们这300个同学随意地随机地坐300个位置，每一种坐法就是一种变换，那么在我们300个人坐这300个位置当中，一共有多少种这种坐法呢？一共有300的阶乘个坐法，就是从1×2×3×4，一直到乘到300，就是这300的阶乘个这种位置的变化就是一个群。那么这个现在我们称它是全对称群。对于这个对称群，我们现在至少有一点感性的认识。知道了之后我们就可以做点事，所谓的对称多项式。你们学高等代数的时候一定会学对称多项式，知道对称多项式的请举手，大多数人还是都知道的。我们这几个多项式是对称多项式，而且它还是有特殊性，我们叫它初等对称多项式。对称多项式千千万，初等对称就这N个。我记得画家有一个说法：画人先画骨。那么在我们这个地方，那么这个骨就是我们的初等对称多项式。所以说这个从数学上来看，我们来分析对称这个现象，在多项式这个地方有这么深刻的道理和这么美妙的结果，当我一开始学到这个定理的时候我觉得它是妙不可言。

//中国古代数学已经开辟了或者奠定了数学机械化的道路，这还不伟大吗？//

从数学家的角度来看，我们研究这些东西，当然是现实世界的需要，也是数学发展的需要。那么在数学发展的道路征程中，你万万不会想到中国古代的数学就是追求真和美的典范。我们国家的数学家吴文俊先生，他也是我非常崇敬的中国数学家之一。吴先生有很多伟大的贡献，其中之一就是他对中国古代数学有非常深刻的研究，提出来中国古代数学是主流数学的观点。不像西方的有些人認为中国的数学是边边角角，是不成体系的，不成体统。吴先生他发现中国古代数学就是一部算法大全，觉得它是妙不可言。其中吴先生特别举了一个例子，大家都知道的非常著名的《九章算术》。我们今天学高等数学的都知道辗转相除法，或者说是欧几里得算法，就是给了两个整数或者两个多项式，求它的最大公因子。在《九章算术》里边，在公元前的时候，我们的老祖宗就已经给出了这个算法了，而且相当的精妙。他那个时候把这个最大公因子叫等数，这个数就是以少减多，更相减损，求其等也。什么意思？我举一个最简单的例子：我们想求6和4的最大公因子，那我们的老祖宗就告诉我们，你把这两个数放在这儿，前面是6，后边是4对吧，这是两个数，然后以少减多，那就是把高的那个6多嘛，把4减掉，6减4还剩2对不对？现在就剩了两个了，就是2和4对吧，那么再按照那个方法再减，也就是说用4减去2，那就还剩2，那就剩了两个数了，2和2。这就是我们老祖宗说的等也，就是等数。这个2这样出来了，就是6和4的最大公因子。我这个是举的最简单的一个例子，你可以举其他的任何两个整数，都可以通过有限步以后，把它的最大公因子找到。这是一个相当美妙的事情，而且像这种伟大的解法算法，《九章算术》和后面的各种的数学著作里多了去了。

所以说吴先生说中国古代的数学就是一部算法大全，是告诉了你各种的算法。算法正是我们今天计算机帮人做事情的基础，我们现在处于一个信息化的时代，数字化的时代，我们需要机器来帮我们做越来越多的事。可是计算机说起来是最聪明的，但是说回来也是最笨的，说它聪明是因为它快，它算得快，说它笨是因为它现在还不能思考，它什么东西都需要人做好了，给它编好了程序，让它去一步步地去计算。机器最大的弱点就在于它只能处理有限的东西，它只能处理离散的东西。那么所有的无限的连续的东西，我们首先要靠人，把它化成有限的离散的东西，然后让机器去做，这就是算法。正是实际问题数学化，数学问题代数化，代数问题机械化，中国古代数学已经开辟了或者奠定了数学机械化的道路，这还不伟大吗？今天计算机的发展，算法的发展，一定会发展出新的数学，中国数学要走向世界的前端、要领先世界的话，我觉着我们应该更多地求教于吴先生，我们也需要更多的中国的学子来努力，来使得我们真正走向数学的强国。

（六月的雨摘自2020年2月22日《开讲啦》）