数值分析的PBL 和LBL 相结合的混合教学模式探究

邵新慧，史大涛，冯男

（东北大学 理学院数学系，辽宁 沈阳）

2017年6月，教育部通过了《新工科研究与实践项目指南》,“新工科”要着眼于互联网革命、新技术发展、制造业升级等时代特征，新工科专业的兴起，要求承担培养高素质人才的大学做出相应的变化，包括建立新的培养计划，完善原有的课程体系，更新相关的教学内容，改革现有的教学方法和手段，培养学生最核心的能力——主动摄取知识的能力和快速学习新事物的能力，从而培养新工科发展最需要的创新型人才，不断满足社会经济发展对新工科人才的需求。

正是由于新工科需要创新能力和实践能力都很强的复合型人才，因此对数学知识的运用会越来越多，要求也越来越高。大学数学学习不再仅仅是为工科专业学生后续专业课程学习打下良好基础，同时也是培养学生计算能力、逻辑思维能力、实际应用能力、团结协作能力和创新能力的重要途径。

新工科的提出和发展，为大学数学课程教学带来了机遇，更加凸显了数学在新工科人才培养中的基础和重要地位，但同时也对大学数学的教学带来了挑战[1]。在大数据时代和信息化社会，只靠书本上的内容已经无法满足学生对知识量的需要，作为高校数学教师，需要重新审视大学数学课程中每一个知识点，研究找出知识点与新工科专业之间的最佳契合点，对课程内容和体系构建做出新的设计方案，同时对课堂教学的方式方法也提出了新的要求。

在国际教学模式中，PBL教学法得到了国际教育界的认可，并普遍应用于教学中[2]。与传统以授课为主的LBL教学法相比，PBL教学法主要是开展形式是以学生为教学主体，通过开展小组合作是教学方法，学生实现对生活中问题的自主探索解决，学生通过复杂化、实际性的问题情境锻炼，可以对问题背后的知识内容更加深刻的理解掌握，并培养提升了学生的解决问题的能力，为学生的终生自主学习能力的培养奠定基础保障。

为了学生数学思维得到有效锻炼以及应用能力得到提升，数值分析教学团队针对PBL教学法展开研究和探索，并通过开展相应的教学实践，实现教学质量的提升，教学效果显著。

一 PBL教学模式

PBL（problem based learning）教学模式是1969年由美国神经病学教授Barrow在加拿大麦克马斯特大学提出的一种课程模式，1993年在爱丁堡世界医学教育峰会上得到了推荐[3]。

PBL教学模式是设计真实的任务，以应用价值为学习核心，学习中学生自主查询学习资料，并在教师的教学引导下，通过采取小组合作等形式开展学习问题的探究解决，实现对问题背后知识的有效了解与掌握。问题的提出、分析、解决是PBL教学模式的这个运行流程，主要应用目的是培养学生的综合解能力、自主学习能力、理解获取新知识以及创新意识，形成“教师引导、学生自主探索学习”的模式，为学生具备扎实的理论基础并具有较强工程实践能力提供了保障。

PBL教学模式的核心是问题，问题必须要有吸引力，能激发学生学习兴趣。

问题的设置主要是案例为主进行引出，PBL教学模式的构建核心内容就是案例分析，借助课本中的理论知识来解决案例中的实际问题，该教学模式充分体现了数学课程基础知识在实际生活案例中的有效应用，此种联系生活实际的教学模式，也可以实现对学生学习兴趣以及积极性的有效激发，达到良好的教学效果。

在PBL教学模式下开展案例教学，创新了教学理念，更新和优化教学方式方法，也实现了课堂例案教学的有效开展，促进来的教学目标的实现以及学生创新能力的有效培养。

二 PBL教学模式实施方案

数值分析课程是理工科各个专业的硕士研究生开设的数学基础必修课和学位课，也是国内各高校在理工科许多专业本科和研究生阶段开设的必修数学课程。这门课程的主要内容是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，是现代数学在计算机上应用的重要基础课程，也是学生继续学习和掌握其它常用算法的基础课程。

数值分析课程内容丰富，研究方法深刻，既有数学高度抽象性与严密性的特点，又有广泛性、应用性与实际试验高度技术性的特点，是一门实用性很强的数学课程。通过学习这门课程，学生在理论学习及在计算机上解决实际问题等各方面打下良好的数学基础，提高数学素养与实践动手能力，并培养与提高逻辑思维能力和数学推理能力。近几年，计算机科学的飞速发展不仅给人们提供了强大的计算工具，同时也带动数值分析课程取得了长足的进步和发展，使得在工程技术、自然科学、社会科学中出现的诸多问题都可以用数值分析的方法去解决，进一步扩大了这门课程的实际应用范围。

在教育教学中，网络与多媒体技术的应用，教学的内容也更加的丰富，呈现多元化特点，传统教学方法也不再适用现代化教学，教师就需要学会运用新技术、新方法来调动越来越多的教学资源，然后充分地利用多媒体以及互联网技术向学生开展更加丰富的教学内容，在教学活动中也必须充分地利用现代化信息技术。我们数值分析教学团队意识到了改变教学方法的重要性，课下定期召开教学研讨会，钻研教学内容，探索适当的教学方法，打破教学过程中的陈旧教学方式，丰富补充与拓展了现有教材未涉及的教学内容，有效地将学生自身专业与抽象的数学关联融合，进行了一系列对数值分析课程的教学改革。

2017年我们的数值分析课程成为东北大学第一批慕课建设资助课程，2017年上半年完成了数值分析教学内容的慕课视频录制工作并实现了数值分析慕课的网络上线工作。2017年9月全校本科和研究生的数值分析课程正式全面启动了课堂教学+慕课实践模式。通过一学期的使用，从课堂状态、期末测试以及学生反馈情况来看，学生学习数值分析课程的积极性明显提升，对知识内容有了不同程度的加深，对知识的掌握情况明显要好于往届学生。与此同时学生还可以通过慕课网站了解主讲教师的基本信息、教学录像、学术研究以及课程介绍、教学大纲、教案、电子课件、教学安排、参考资料、习题及习题答案、参考文献等，实现了课程与网络技术的结合，为学生“自主、探究”学习创造了条件，实现了课堂教学的课外延伸，加强了对学生的实践能力和创新能力的培养。每章课程结束之后学生都可以通过网上提交作业方式进行阶段复习和测试，而这样也适时地督促了学生们的学习。在网上论坛中，学生也可以与老师或其他同学积极互动，能够迅速解决学习中出现的各种问题。我们所采用的“混合式学习”方法，在教师的主导作用下，使学生真正成为了学习的主体，在线教学与课下的在线学习的有机结合，自主与合作学习的并存，这种混合式的教学方法，促使学生在有限的学习时间内对所学课程内容进行系统、准确、全面地掌握与理解，学生自主学习、实践动手、创新能力等综合能力得到了锻炼与提升，真正达到了素质教育的根本要求。

另外，课程教学团队注意到了数值分析课程实用性强的特点，所以一直采用原来的传统讲授式教学（LBL）+案例教学法（CBL）方式，且也建立了一定量的案例课题，并结合慕课平台，展开了线上线下混合式教学模式。现在团队在原来工作基础上将教学方法进行调整，将其转变为传统讲授式教学（LBL）+PBL教学法。其实CBL和PBL两种教学法是有联系，同时也是有区别的，其共同之处在于都是以学生为课堂主角，都要求有实际案例支撑教学，同时对案例也都是要求具有典型性且来源于实践，同时还与所学习的理论知识有密切直接的联系。但两者侧重点也有差别，案例教学法仅是利用案例课题说明所学课程内容，PBL教学法不仅仅是解决案例课题，同时还需要思考教师设计出的探究式问题，而这些问题的设计要远远高于之前案例教学中设定的问题，有时还需要设计一些开放性的课题，提升学生学习课程的兴趣和自主学习的能力，从而培养了学生的创新能力和理解与获取新知识的能力。

由于数值分析课程是一门以高等数学和线性代数为基础的数学课程，本身具有一定的难度，且课程中公式推导多、算法多，理论性和应用性都强。针对课程的这些特点，通过分析研究，课程教学团队决定采用如下方式开展课程教学模式，具体实施方案说明如下：

（一） 基本理论和难度较大的算法，采用LBL教学法

这是利用了LBL教学法的优点，在该教学法的运用实施中，教师的教学引导作用得到了充分地发挥，教师运用自身专业知识，将所要教授的教学内容进行系统、全面地理解分析，设计合理的教学课件，将教学知识内容分准确、系统、全面的传递给学生，由此一来，很好地保障了教学内容的系统性与连贯性。教师是主导课堂进程、质量与效率的主导人，教师必须要依照班级绝大部分学生的学习接受能力，按计划完成教学任务，对教学内容只是有简单到更高级的知识传播递进，将所授知识深入浅出。另外，通过多媒体的合理有效地使用，可以以图、文、声、形并茂的形式进行教学内容展示，以此来实现课堂信息量的丰富与提升，图文并茂的PPT可以实现对学生学习积极性与兴趣的激发，还可以帮助学生更好地对知识点进行有效理解，促进学生的有效学习。这样省下来的时间，教师就可以将获取的最新科研成果展示给学生，更好地丰富和更新了课程的教学内容。

（二） 重要知识点和重要算法，采用PBL教学法

教学团队的教师根据内容选择一些典型案例，并结合课程内容和案例的具体信息设定一些问题，问题的设计逐次递升，有考查学生对基本知识点理解的，有涉及解决案例时关键技术的，最重要的是一定要涉及一个开放性课题，锻炼学生发散思维和创新能力的。教学开展方式主要是以学生为学习主体，在教师的课堂设计引导下，以一个个精心选择的问题为载体，以小组讨论的形式进行自主学习，学生在讨论、探究学习中，对问题进行一一探讨解答，从而获取所学知识。在解决问题过程中，学生通过查找资料、上机实践和讨论等多个教学环节，最终使问题得到解决。小组成员在选出代表进行发言，小组之外的其他同学和老师都可以进行提问，小组所有成员都可以来回答。整个这个过程，既让学生学到了知识，又锻炼了学生自学能力和实践能力，有效开发了学生的潜力和创造力，锻炼了学生的表达能力，同时也促进了同学之间的团结合作和人际沟通，而这些能力会大大提升学生自身的综合素质，从而使学生更具有人才竞争力，将来能更好地融入社会。

当然，任何事物都不是万能的，PBL也有一些不足：学生在接受PBL教学法进行知识点的学习过程中，会将学习的重点放在了实际应用问题求解上，对于课程中众多的知识点却忽略了掌握的全面性，由此一来，学生对课程教学内容的掌握上，不能连贯、系统地进行全面掌握。此外，学生学习的自主性、自律性是PBL教学有效开展的重要基础保障，与传统课程学习时间先比较，学生需要抽出更多的时间来进行学习资料的搜集、自主学习，在进行编程，在学习时间上很更长一些，部分学生会产生抵触心理，在教学目标的良好实现上较为困难。

（三） PBL与LBL相结合的混合式教学模式

针对PBL教学法的不足，教学团队老师探讨商量对策，最终获得一些解决方法：由于数值分析课程并不是单纯采用PBL教学法，而是LBL与PBL教学法相结合，因此可以利用LBL教学法的时间，任课教师可以在学生们总结基础之上再进行补充说明和归纳总结，从而帮助学生建立系统的课程内容知识体系。另外，由于数值分析课程在中国大学慕课平台有很好的学习资源，对于一些简单的知识点和比较容易理解的算法内容，学生可以通过慕课学习，这样就节省了课堂时间，从而使学生课堂讨论进行得更充分。尽管PBL教学模式耗时耗力，但对学生今后个人成长和发展都是很有好处的，可是学生在学习阶段未必能够充分认识到这一点，为此可以采取提高这部分成绩在课程总成绩中所占比重的方式来调动学生的积极性和参与度。

为此，我们数值分析教学团队的教学方法最主要的创新点如下：

1.采用LBL与PBL教学法相结合的教学模式。知识点内容多而繁杂，且每一个知识章节之间是相对独立的，章节中的知识点内容难易程度与重要性也是截然不同的，这就是数值分析课程的知识分布的主要特点。因此，在进行课程教学的课程设计时，教师可以采取PBL和LBL两种教学方法相互结合的混合教学方式，将两种学习方法中的各种优点加以运用，取长补短，相得益彰。LBL教学方法的运用，可以在偏重于理论知识呈现的教学内容上进行充分运用。PBL教学法更合适应用于教学内容偏重于应用实践、知识点整合阶段的教学运用，以此来激发学生学习积极参与性。这样的教学方式更有针对性，也更利于学生理解和掌握课程内容[4]。

2.实际应用课题的选择及相关问题的设计将是本项目最大的亮点，从而能更好培养学生的创新精神和实践能力，极大地提高学生理论联系实际的能力和查阅文献进行研究性工作的基本素质。

3.数值分析课程慕课资源的巧妙利用，为基础课程的信息化教学改革创造条件，也为PBL教学法的实施提供了充足的保障。

4.在线测验考试系统的应用，打破“千人一卷”的考核模式，有利于学生过程化学习，从而使学生课程知识点的掌握更加扎实。

5.尝试使用OBE的教学评价体系，对于评价的标准，采取的多元化、梯次形式的评价方式，对学生的学习成果的内涵、个人学习进步更加注重评价，在评价等级的设定上，是依据不同学生的学习特点以及所达到的教育成果程度来将学生的学习进程划分为不熟练到优秀不同的等级阶段，对每一个阶段的学习目标也有着明确的标准，，这些学习目标是从初级到高级，最终达成顶峰成果。由此一来，学生们的教学目标是一致的，就是将不同学习阶段的学生进行了合理、科学的划分，然后不同学习能力的学生，采取不用的途径、方法与时间，完成一致的学习目标[5]。

6.混合式的教学模式实施的效果和结论。数值分析课程基于慕课教学、LBL和PBL教学法相结合的过程化教学模式和多元化的考核评价体系解决了学生课下自主学习效率低，平时不努力期末搞突击等学习陋习，同时也克服了一张考卷定输赢的考核弊端。过程化教学模式中实际应用案例与时俱进地更新可以保证数值分析课程的前沿性，满足时代发展对学生培养不断提出的新要求，通过“翻转课堂的教学模式改革”，从而帮助学生实现认知升级、知识集成、技能提升，提升学生学习课程的兴趣和自主学习的能力，锻炼学生自学能力和实践能力，有效开发了学生的潜力和创造力，促进了同学之间的团结合作和人际沟通，提升学生自身的综合素质，从而使学生更具有人才竞争力，未来能更好地融入社会。

三 结语

当然，在数值分析课程中采用的教学方法也可以推广到其他数学类基础课程和专业课程的学习中，特别是某些前沿科学对应的课程学习中，从而使PBL教学方法得到广泛推广。