任务驱动教学法在微积分教学中的应用*

文/李静（郑州西亚斯学院）

一、引言

《微积分》课程是经管类专业学生学习的一门基础必修课，培养的是学生的逻辑思维能力、计算能力，而引导学生学会思考、学以致用更是教师应关注的问题，是学生通过本门课程应学习到的能力。任务驱动教学法，作为一种建立在建构主义学习理论基础上的教学法，不同于以往的传统教学理念。在传统的教学理念中，教师处于中心地位，以课堂教师讲授知识为主进行知识传授，学生处于一种被动学习状态，缺乏主动思考的能力。而任务驱动教学法是以解决问题、完成任务为主的多维互动式的教学理念，这种教学方法将再现式教学转变为探究式学习，使学生处于积极的学习状态，每一位学生都能根据自己对当前任务的理解，运用共有的知识和自己特有的经验提出方案、解决问题，为每一位学生的思考、探索、发现和创新提供了开放的空间，体现了“以教师为主导，以学生为主体”的教学理念，使学生变被动学习为主动学习。关于任务驱动教学法的应用实施，已有不少专家学者的研究及应用成果，比如渤海大学的赵丹在其文章中指出如何构建任务驱动教学模式，促进学生进行自主学习。孙丽东通过具体的案例，介绍了任务驱动教学法在高职院校高等数学课程的运用。本文将以《可分离变量的微分方程》这一节课为例，探讨任务驱动教学法在微积分教学中的应用。

二、教学应用

《可分离变量的微分方程》选自由高等教育出版社出版，龚德恩、范培华主编的《微积分》（第二版）教材第九章《微分方程与差分方程简介》的第二节《最简单的微分方程》，教学时长1学时。在学习本节课内容之前，学生已经学习了第一节课《微分方程的概念》，了解认识了什么是微分方程以及微分方程的解、特解、通解等概念，但是并没有学习如何解微分方程。数学是一种方法，是其他课程的一个工具，传播的是一种思想，强调的是学以致用。在解决实际问题的时候，当我们通过对问题进行分析、数学建模，得到了相应的数学模型，列出来所要求解的方程，那么接下来要做的就是如何解方程，因此掌握方程的求解方法是必要的。微分方程的类型有很多，有线性和非线性之分，也有一阶、二阶之分，学生在专业课学习中会遇到此类微分方程，学会建立一些简单类型的微分方程并掌握其求解方法，这对学生的后续学习有重要作用。本节课主要针对可分离变量的微分方程进行求解，解决的是怎么计算的问题，是第一节课内容的延续和强化，同时作为一类最简单的微分方程，是后面课时中其他类型微分方程求解内容的铺垫。

基于任务驱动教学法，本节课的教学目标设置如下：

知识目标：能准确判别可分离变量的微分方程的一般形式，掌握可分离变量的微分方程求解方法；

能力目标：能够利用可分离变量微分方程来解决实际问题，变抽象的计算为直接的问题处理能力；

情感目标：激发学生对数学的学习兴趣和求知欲，培养学生之间的团结协作与沟通能力，引导学生发现生活中的数学美。

（一）课前任务发布

在本节课前一周，由教师发布任务主题“已知当前或过去某个时刻的某一地区人口数量，基于马尔萨斯人口模型预测未来某个时刻该地区的人口数量，以及在遥远的未来人口会怎样发展变化，并分析评价马尔萨斯人口模型”。

将每班学生分成若干个小组，每小组6-8人，对上述主题进行研究讨论，并形成每一小组的研究成果。学生可以通过学习通和互联网查找关于马尔萨斯人口论和人口模型的相关资料以及解方程的方法。

该主题只说某一地区，没有限定到底是哪一地区，因此学生在研究时关于地区的选择具有开放性和自主性，每一小组研究的对象不同，在课堂上进行成果探讨时可以更大程度地开拓学生的知识和视野，达到百花齐放百家争鸣的效果。

作为教师，我们知道马尔萨斯人口模型是一个非常简单的模型，在人口预测上有很大弊端，对于现如今的人口预测来说实用性不强。要求学生基于马尔萨斯人口模型预测人口数量，是因为学生初学微分方程概念，还没有掌握相关的微分方程求解方法，难以理解更为复杂的人口模型。最后提出分析评价马尔萨斯人口模型这一任务，可以使学生认识到这一模型的利弊，探索更多的模型，激发学生的求知欲。

（二）课中教学安排

（1）上课时，结合此前发布的问题，按照学生分组情况进行任务成果的汇报。

因为题目是开放性的，学生研究的地区不同，选取已知时刻人口不同，因此结果会有很大差异。此时，对每一组的成果给予正面评价与引导，可以激励学生互相学习，取长补短，建立学生的自信心。

下面我们来看一下马尔萨斯人口模型。通过假设人口的出生率、死亡率，建立由离散到连续的方程，建立微分方程，得到以下带初始条件的微分方程：

其中t表示时间，P(t)表示t时刻的人口数量，r为人口的自然增长率，P(t0)为已知时刻t0的人口数量。

（2）由马尔萨斯人口模型引入本节课的重点内容：可分离变量的微分方程。

可分离变量微分方程的一般形式：

引导学生观察这两个微分方程，对比它们的形式，学生可以准确判断出人口模型的微分方程即为可分离变量的微分方程。

（3）接下来由教师向学生演示可分离变量微分方程的求解方法。

解：分离变量，得：

两边同时积分，得：

由上述积分可得形如F(x,y) =0的隐函数，即为所求微分方程的解。

通过此微分方程的解法，由学生自己对马尔萨斯人口模型再次进行求解，结合初始条件，得到人口模型的特解

学生将上述特解与本组展示成果中的人口预测函数进行对比，观察其异同处。通过对方程解的分析，计算未来某一时刻的人口数。

（4）在遥远的未来人口会怎样发展变化？

此问题即对人口未来趋势的预测，这考察到微积分中的极限思想，即t趋于无穷时，求函数的极限。结合人口变化的实际趋势，该模型对于短时间内的人口数量比较吻合。上述特解在t趋于无穷时，人口数量也会趋于无穷，但是从现实社会来看，即使是在长远的未来，人口也不会无限增长，该模型有很大缺点。

课前任务中已要求学生分析评价马尔萨斯人口模型，此时向学生展示每组的分析评价，并正确引导，引发学生对人口模型的思考。此后的人口学家又提出了其他的模型作为优化和改进，如Logistic模型Leslie模型以及其他复杂的模型等，这些微分方程超出了学生的知识能力范畴，可以作为学生课后学习的拓展。

（5）课堂练习

在任务驱动教学模式下，学生学习了可分离变量的微分方程及其求解方法，并认识微分方程在实际生活中的应用。根据以往的教学经验，学生在对微分方程进行求解的过程中，会遇到积分及隐函数表示方面的难题，因此加强课堂练习，有助于增强学生的计算能力，并改善此类问题。接下来给出本节课的练习题，检测学生对此类方程解法的掌握情况。

（6）课堂小结

最后总结本节课所学的教学内容：可分离变量的微分方程一般形式，可分离变量的微分方程解法。

（三）课后复习巩固

向学生布置课后习题作业。课后习题是关于可分离变量微分方程求解的练习，达到对课堂知识直接巩固的目的。

三、任务评价

任务驱动教学法，容易激发和引导学生学习的积极性，培养学生的实践和创新能力，使学生变被动学习为主动学习。小组合作完成任务，更好地培养了学生之间的合作精神和沟通能力。通过对马尔萨斯人口模型网络资料的查询、搜索，学生的信息技术能力得到提升，学生探索欲更强。在教学中，随着人口预测任务的完成，学生产生了很大的成就感。通过任务驱动教学法，能够使学生对可分离变量微分方程的形式认识更清晰、记忆更牢固。

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