基于自适应网格及响应面模型的永磁电机多目标优化

刘晓宇，袁 彬，戴太阳,殷 毅

(重庆大学 输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆 400045)

0 引 言

永磁电机由于具有噪声低、运行效率高、使用寿命长等优势，逐渐成为电气自动化设备体系的重要组成。随着永磁电机在工业中作为如轮毂电机、风机等受到广泛应用，高效、节能目前正成为永磁电机的重要发展方向。

永磁电机设计中,为了提高电机性能和可靠性，需要对结构进行优化。如分析槽口宽度、极槽配合、磁钢参数对转矩波动的影响[1]；分析极槽配合和磁钢参数对于纹波转矩和齿槽转矩的影响[2]。有限元法是电机结构优化中广泛使用的数值方法之一，采用网格离散的方式，可以准确模拟电机内部的电磁场、温度场等分布情况。应用于电机结构优化时，有限元法通过分析包含多个对象的设计区域内场的分布情况来求解优化问题。这些对象的结构可能是复杂的甚至具有时变特性[3]，在这种情况下，需要在优化过程的每个时间步长重新生成有限元网格，这需要耗费大量的计算时间。解决这类问题的方法之一是开发一种新的网格结构，使网格重构更加方便或不需要对全部网格进行重构。目前，更新网格的方法主要是通过利用几何参数更新网格节点坐标。另一种方法是通过求解弹性方程[4]或者拉普拉斯方程[5]，获得新的节点坐标来重构部分区域的网格。然而，这种类型的部分网格节点重新映射方法仍然是相当耗时的，而且构成的网格单元甚至可能产生折叠。基于径向基函数插值的网格重构法[6]和基于优化的移动网格策略[7]等方法，其算法复杂，难以实际应用于仿真分析。参数化网格技术[8]可以通过将节点的坐标表示为一组向量基下的展开系数，实现网格的快速二维变形。然而，这种方法适应于较小的形变，对于几何变形较大的情况会出现网格重叠。因此，为了能有效解决电机结构优化过程中有限元法网格重构的复杂性，需要一种适用于各种范围形变的网格重构方法，降低有限元计算的工作量，提高计算效率。

本文提出一种基于双层结构的有限元网格，即形变对象处于上层网格，该对象周围区域位于背景网格。在优化部件存在较大尺寸变化的优化过程中，采用这种自适应双层网格结构，可以避免网格的变形，不需要重新计算所有网格节点坐标，从而减少网格重构所需的计算量。为了进一步减小计算量，提高结构优化的效率，本文采用基于移动最小二乘法响应面模型，模拟目标函数与不同输入因素之间的关系。采用有限元仿真结果校验调整响应面模型参数，使响应面模型充分考虑数学描述和物理原则之间的关系,使模型更接近实际结构,从而提高响应面模型的精度[9]。

本文以一台48槽22对极表贴式永磁同步电机(电机Ⅰ)和一台18槽22对极径向磁通调制电机(电机Ⅱ)为对象,通过有限元仿真软件建立模型,以磁钢厚度、铁心轴向长度、定转子内外径等为优化参数,对电机转矩与温升, 利用自适应双层网格有限元方法，建立样本数据组,构建并校验基于移动最小二乘法的响应面模型，将建立的响应面模型应用于电机结构的多目标优化问题，证明了所提出的方法能有效优化电机的性能。

1 数值计算方法

1.1 自适应双层网格有限元方法

图1 设计区域及边界示意图

-Δui=fi在Ωi里i=1,2

(1)

[un]=0 在Γ上

(2)

u=0 在Γ上

(3)

自适应双层网格的构建方法如下：

(1) 如图2(a)所示，在优化部件及整个背景区域划分初始网格。在优化过程中，背景网格将保持不动，与此同时，上层网格与背景网格的相对关系将保持不变。

(2) 如图2(b)所示，在背景网格上确定发生两层网格交叠的单元。

(a) 初始网格划分

(3) 获得交叠单元的单元信息，如节点坐标、交点坐标、节点数、单元数、单元边界条件等，这些信息将被储存起来供后续调用。

(4) 根据交叠单元的信息，在背景网格重新构建多边形单元替代交叠单元。

根据交叠单元的信息，进行有限元单元计算及后处理，标量值函数u(x)的插值方案如下式:

(4)

(5)

(6)

式中：φi(x)为构成插值矩阵的系数；ξi(x)为与角度和系数有关的变量；ri=ri(x)是个体p和pi之间的欧式距离,其中角度αi如图3所示。整个网格系统分为三种类型的单元:背景网格单元、上层网格单元、交叠网格单元。不同区域的单元分析可以单独计算。图4为双层网格交叠部位示意图。

图4 双层网格交叠部位示意图

图3 多边形单元的平均值坐标

1.2 响应面模型

本文所采用的改进的响应面模型是基于移动最小二乘法以及先验信息。移动最小二乘法用于搜寻响应面模型的有效系数，先验信息用于构建可靠的响应面模型。最小二乘法函数L(x)定义为如下带权重的误差之和:

(7)

式中：y为n×1目标函数值向量；n为实验次数;X为n×p独立变量水平矩阵；ωi是第i个响应值权重;x是近似位置向量;W(x)为位置x处目标函数的权重矩阵。特别的，在移动最小二乘法中，W(x)是目标函数权重的对称矩阵。为了得到最小化的L(x)，移动最小二乘估计方法如下式:

(8)

b(x)=[XTW(x)X]-1XTW(x)y

(9)

1.3 气隙导热系数和对流换热系数

在电机的气隙部位，对流传热是通过如下等效传热假设实现的:当静止的空气转移的热量等于向流动的空气传递的热量,转子的旋转可以看作一个稳定的过程,在气隙,空气流动的传热能力由静止的导热系数表示。有效导热系数的计算方法如式(10)～式(11)所示[4]。

转子表面的对流换热系数:

(10)

式中：υ为转子表面的旋转速度。槽内绝缘的等效导热系数:

(11)

式中：λi和δi分别为不同绝缘材料的平均导热系数和等效厚度。

2 数值实验

2.1 电机结构及参数

本文采用的永磁体材料为N35SH，最大耐热温度为150 ℃, 剩磁为 1.14 T，矫顽力为860 kA/m。

图5(a)为传统的48槽22对极分数槽永磁同步电机(电机Ⅰ)，相关初始参数如表1所示。图5(b)

表1 电机Ⅰ的主要结构参数

(a) 永磁同步电机(电机Ⅰ)

为18槽22对极径向磁通调制电机(电机Ⅱ)，电机Ⅱ具有一个气隙，相关初始参数如表2所示。

表2 电机Ⅱ的主要结构参数

2.2 响应面模型

为了将所提出的方法应用于电机结构的优化，本文设计并优化了分数槽永磁同步电机和径向磁通调制电机。优化问题可以用下式：

(12)

式中：f(X)={f1，f2} 表示目标函数，f1为转矩，f2为温升；gi(X)为约束条件，m为约束条件数量；X={x1,x2,…,xn}为一系列结构参数，n为参数数量。本文通过调节两台电机的绕组电流来控制温升。采用基于移动最小二乘法的电流-温升关系模型，该模型可以替代优化过程中的有限元仿真，能够较大地减少优化问题的计算时间。电机多目标优化的结果将用于验证提出的优化方法的可行性。式(13)将用于验证结果的准确性。

(13)

式中：N为对比测试中随机样本点的数量。本文中，温升的响应面模型与有限元比较测试中，选取了15个随机样本点，转矩的响应面模型与有限元比较测试中选取了20个随机样本点。

以温升为例，通过磁场分析得到电机各部件的损耗后利用热分析计算出两台电机的温升。对电机Ⅰ、电机Ⅱ采用自适应双层网格有限元方法模拟电磁场分布情况，获得电机的温升情况，通过调节绕组电流进行采样，对样本点采用基于移动最小二乘法的响应面模型建立电流-温升关系模型，得到的电机Ⅰ、电机Ⅱ温度模型分别如下：

yⅠ=0.000 197 32x3-0.030 456x2+2.519 1x

(14)

yⅡ=0.000 052 001x3-0.004 603x2+0.888x

(15)

电机Ⅰ、电机Ⅱ温升随电流变化及输出转矩的响应面模拟值与有限元对比如图6、图7所示。由此可见，本文采用的响应面模型对温升及转矩的模拟较为准确，可以作为多目标优化问题的目标函数，替代迭代寻优中的有限元分析。

(a) 电机Ⅰ

图7 转矩的响应面模型与有限元法比较

2.3 多目标优化

采用本文提出的自适应双层网格有限元法，结合基于移动最小二乘法的响应面模型，依据多目标遗传算法对电机Ⅰ、电机Ⅱ进行结构优化。优化后电机的磁通分布如图8所示。两种电机的最高温升都在定子绕组内。电机Ⅰ、电机Ⅱ的定子和绕组的温度分布如图9所示。仿真结果显示，优化后的电机结构磁通分布合理，温度处于永磁体耐热范围内。

(a) 电机Ⅰ

(a) 电机Ⅰ

多目标优化的最终计算结果以及有限元计算次数、计算时间等数据如表3与表4 所示。

表3 电机I的优化结果比较

表4 电机II的优化结果比较

结果显示，采用本文的基于自适应有限元法的多目标优化方法，优化结果与基于传统有限元的多目标优化相比较为准确，能够在保证结果准确性的前提下，有效地减少优化时间。

3 结 语

本文研究了一种优化永磁电机性能的方法。提出了一种自适应双层网格有限元方法，通过分离设计区域，避免优化迭代时的整体网格重构。针对影响电机输出转矩及温度的参数变量,即磁钢厚度、电机轴向长度以及电机内外径等参数，建立基于移动最小二乘法的响应面模型，与有限元模拟结果对比验证该模型的可靠性。针对永磁同步电机和径向磁通调制电机的多目标优化问题，以转矩与温度作为目标函数，实施电机结构优化。通过与传统有限元方法的比较，验证了准确性与可行性，以及应用该方法可以减少优化过程的计算量。