基于单参数Logistic的典型作物相对叶面积指数模型研究

王全九 刘云鹤 苏李君

(1.西安理工大学省部共建西北旱区生态水利国家重点实验室， 西安 710048；2.中国科学院水利部水土保持研究所黄土高原土壤侵蚀与旱地农业国家重点实验室， 陕西杨凌 712100)

0 引言

冬小麦、夏玉米和水稻是3种主要的粮食作物，占我国粮食总产量的90%左右，准确分析作物生长过程和预测粮食产量越来越受到关注。叶面积指数作为表征作物生长的主要指标，可间接反映作物对水、肥、光等环境因子的吸收利用情况，并在很大程度上决定产量[1-3]。因此，对叶面积指数变化特征分析是产量预测的重要环节。

Logistic方程由生态学家首次提出，被用于描述细菌种群密度增长的规律，即随着种群密度的增加，细菌的相对增长率呈下降趋势，与时间无关[4]。此后，该方程被广泛应用于农业气象学领域，描述作物的生长过程，包括干物质积累和株高的增长等[5-7]。文献[8]在进行植物表型测量系统的研究以及实现作物生长的可视化研究中也利用了Logistic方程。但Logistic方程仅能描述作物指标的增长过程，无法分析某些指标在作物生育后期的下降过程。文献[7]提出了一种修饰的Logisic方程——双Logistic方程，该方程引入了一个新的参数kt，表示受作物基因影响和环境约束的最长生育期，却仍未能对作物生育后期的叶面积指数变化特征进行很好的模拟。文献[4]指出了Logistic方程描述作物群体动态的不足，认为作物器官的生长变化率不仅与种群竞争有关，还与作物自身所处的生育期有关，即使不存在种群竞争，作物也会逐渐生长、消亡。因此，在Logistic方程的基础上提出了修正的Logistic模型，并被大量应用于描述作物全生育期内叶面积指数的变化过程。

有效积温是指作物生长到某个阶段所积累的有效温度，与作物的生物学上、下限温度有关[9]。相较于生育期天数，有效积温更能反映作物生长与气象条件之间的内在联系和更好地描述作物生长过程，因此，以有效积温为自变量建立作物的叶面积指数生长模型更具有生物学意义。文献[10]基于遥感、Logistic模型和有效积温研究了冬小麦生育期的提取方法。文献[11]在实现黄瓜叶片生长变化的仿真过程中，以有效积温作为外界环境驱动因子进行了研究。文献[12]利用有效积温和Logistic方程，建立了马铃薯的叶面积指数和干物质的增长模型。文献[13]借助修正的Logistic模型，分别以播种后天数和有效积温为自变量，建立了冬小麦叶面积指数的增长模型，分析了两种建模方法的拟合效果，并进一步利用相对有效积温建立了冬小麦返青至成熟阶段的相对叶面积指数变化模型，结果表明，相对叶面积指数与相对有效积温之间具有相关关系，指出此种方法能够很好地描述叶面积的生长变化过程。文献[14]在修正Logistic模型的基础上，扩充了时间项，建立了冬小麦株高及叶面积指数与有效积温之间的扩充Logistic模型，但该模型中待定参数较多，且需采取试算法确定参数，计算较为复杂。

已有研究表明，利用修正的Logistic模型可较好地描述不同作物的叶面积指数变化特征[15-16]，但对于模型参数的变化特征以及参数之间的关系仍缺乏深入分析。本文针对冬小麦、夏玉米、水稻3种典型粮食作物，分析叶面积指数随相对有效积温的变化过程，探讨修正的Logistic模型参数间的关系，以期建立简单的、适于实际应用的相对叶面积增长模型。

1 研究方法

1.1 数据来源

针对冬小麦、夏玉米和水稻3种典型作物，查阅文献资料，分别收集了45组不同地区、不同种植时间的作物叶面积指数生长数据，其中30组用于模型参数分析，15组用于模型准确性评价。利用中国气象数据网获取不同作物生长阶段的温度数据，计算其对应的相对叶面积指数和相对有效积温。表1为3种作物的叶面积生长数据来源。在选取数据时，以典型种植管理模式下的作物生长数据为主，不选取未经大面积推广技术条件下的生长数据。

表1 冬小麦、夏玉米、水稻生长数据来源Tab.1 Data sources for three crops of winter wheat, summer maize and rice

1.2 简化叶面积增长Logistic模型建立与评价方法

结合具体作物叶面积指数增长至某一特殊阶段时(如叶面积指数最大时、叶面积指数为最大值的一半时)的相对有效积温，考虑相对化修正Logistic模型的参数关系，对修正Logistic模型

(1)

式中y——研究指标，可表示种群密度、作物干物质积累量、株高等

ymax——y的上限

a、b、c——参数t——时间

进行数学变换。针对3种典型作物，分别建立其对应的简化叶面积增长Logistic模型。

采用常用的3种评价指标对模型准确性进行评价，即决定系数R2、均方根误差(RMSE)和相对误差(RE)。R2越接近于1，模型模拟值与实际值的一致性越好；RMSE和RE越小，表示模型模拟效果越好。对于最终建立的简化修正Logistic模型，利用SPSS 22.0软件分析其模拟结果，与实际相对叶面积指数进行对比，分析残差和方差显著性。

2 模型构建

2.1 相对化的修正Logistic模型

为了体现气候对叶面积指数增长的影响，采用有效积温代替时间，形成了以有效积温为自变量的修正Logistic模型。同时为了消除作物不同品种、土壤条件对叶面积指数所引起的差异，对叶面积指数进行了归一化处理，采用相对叶面积指数为因变量的修正Logistic模型，具体表示为

(2)

其中

PGDD=∑(Tavg-Tbase)

(3)

式中RLAI——相对叶面积指数

PGDD——有效积温，℃

Tavg——日平均气温，℃

Tbase——生物学下限温度，℃

为了统一分析不同地区温度对作物生长的影响，利用相对有效积温作为自变量，建立相对有效积温与相对叶面积指数的修正Logistic模型，具体表示为

(4)

式中RGDD——相对有效积温，利用各生育期对应的有效积温除以全生育期的总有效积温计算所得

2.2 模型参数间关系

相对化的修正Logistic模型中包含3个参数，即a、b和c。在不同地区或不同时间下模型应用和参数率定过程较为繁杂，不利于模型的推广使用。因此，结合了3种典型作物关键生育阶段的相对有效积温，通过对模型的数学变换以及实际数据拟合，以期探明相对化的修正Logistic模型中3个参数之间的关系，建立便于参数确定的数学模型。

2.2.1参数b和c与相对有效积温的关系

(5)

则b可以表示为

b=-2cRGl

(6)

式(6)表明，当某种作物的RGl一定时，随着参数c的不断增大，b呈线性减小的趋势，减小速率与作物最大叶面积指数对应的相对有效积温有关，且该种作物对应的参数b与c的关系即可确定。此外，各作物的最大叶面积指数基本出现在孕穗灌浆期，因此孕穗灌浆期的相对有效积温与参数b和c有关。

2.2.2参数a、b、c与相对有效积温的关系

(7)

式(7)表明，作物叶面积指数达到最大值的一半时，其相对有效积温与修正Logistic模型中的3个参数均有关。为了进一步探讨参数间的关系，分别利用数据来源中10组不同地区、不同种植时间的冬小麦、夏玉米和水稻生长数据，对式(4)进行参数拟合，拟合结果如表2～4所示。由表2～4可以看出，在将有效积温和叶面积指数都相对化的情况下，修正的Logistic模型对3种作物叶面积指数变化拟合效果较好。表中拟合参数值也表明，3个参数之间存在一定函数关系。假定-b=α(a+c)，其中α为常数。由于从理论上难以建立3个参数间关系，只能利用实验资料来分析α变化特征。为了确定系数α，分别作3种作物a+c与-b之间的关系图，见图1。图1结果表明，a+c与-b之间存在着明显的线性关系，R2均等于0.99，RMSE不大于0.13，RE不大于0.002%，而且α近似等于1，这样α可认为等于1，并有

图1 冬小麦、夏玉米、水稻3种作物修正Logistic模型中a+c与-b的关系Fig.1 Relationships between a+c and -b in modified Logistic model of winter wheat, summer maize and rice

表2 不同地区冬小麦叶面积指数修正Logistic模型参数拟合结果Tab.2 Parameter fitting results of modified Logistic model for winter wheat leaf area index in different regions

表3 不同地区夏玉米叶面积指数修正Logistic模型参数拟合结果Tab.3 Parameter fitting results of modified Logistic model for summer maize leaf area index in different regions

表4 不同地区水稻叶面积指数修正Logistic模型参数拟合结果Tab.4 Parameter fitting results of modified Logistic model for rice leaf area index in different regions

-b=a+c

(8)

2.2.3参数a和c与相对有效积温的关系

为了获得修正Logistic模型中参数a和c与相对有效积温的关系，将式(8)代入到式(7)可得

由表2～4可知，c>a，可获得

(9)

则参数a可表示为

a=RGhlc

(10)

这样可以利用有效积温获得相对化修正Logistic模型参数

(11)

2.2.4参数a、b、c与相对有效积温的关系评估

图2 冬小麦、夏玉米、水稻3种作物RGhl与a/c对比Fig.2 Comparisons of RGhl and a/c values of three crops of winter wheat, summer maize and rice

为了进一步评估式(8)的合理性，利用式(11)获得了最大相对叶面积指数对应相对有效积温和相对叶面积指数为1/2时对应的相对有效积温的关系

(12)

图3 冬小麦、夏玉米、水稻3种作物RGl与对比Fig.3 Comparisons of RGl and values of three crops of winter wheat, summer maize and rice

3 单参数相对叶面积指数模型及其评估

3.1 单参数修正Logistic模型

前面已经确定了相对化的修正Logistic模型中3个参数之间的关系，并且明确了参数与相对有效积温的定量表达式(式(11))，利用式(11)对修正的Logistic模型进行参数简化，则有简化模型

(13)

由于不同作物种类对应的RGhl不同，利用表1中所列的3种作物数据，分别计算其RGhl。结果显示，冬小麦RGhlw在0.48～0.50之间，夏玉米RGhlm在0.28～0.41之间，水稻RGhlr在0.22～0.38之间。由于RGhl变化幅度和数值较小，其对计算结果影响也较小，为了简化模型分别取各范围平均值，即RGhlw=0.49，RGhlm=0.35，RGhlr=0.30，则冬小麦、夏玉米、水稻3种作物的单参数Logistic相对叶面积指数增长模型可表示为

(14)

式中RLAIw——冬小麦相对叶面积指数

RLAIm——夏玉米相对叶面积指数

RLAIr——水稻相对叶面积指数

这样将冬小麦、夏玉米和水稻3种作物的修正Logistic三参数模型简化为单参数模型，可以利用单参数模型和相对有效积温特征值，计算作物相对叶面积指数变化过程。

3.2 单参数修正Logistic模型评估

3.2.1利用建模数据进行评估

为了评价所建单参数修正Logistic模型，利用式(14)拟合3种作物对应的参数c，并分别计算3种作物的相对叶面积指数，并与实测的叶面积生长数据进行对比，结果绘制成图4。由图4可以看出，计算结果和实测数据之间的散点与1∶1线吻合较好，3种作物的决定系数均大于等于0.93，相对误差在1%以内。同时，利用计算结果与实测数据进行了独立样本T检验，分析两组数据的方差显著性。结果显示3种作物检验结果P均大于0.911，远大于置信区间0.05。因此，利用本模型所计算的相对叶面积指数并与实测相对叶面积指数之间不具有显著性差异，表明本研究所建模型符合作物实际生长过程，模型计算效果较好。为了进一步说明简化相对修正Logistic模型的计算结果与实际相对叶面积指数变化过程吻合程度，利用模型计算了相对叶面积指数并与实测数据进行对比，结果如图5所示。由图5可知，所建单参数模型比较好地描述了冬小麦、夏玉米、水稻3种作物的相对叶面积指数变化过程，模拟效果较好，R2均大于0.90。

图4 模型计算结果与建模实测数据比较Fig.4 Comparisons between simulated RLAI and measured data used in establishing model

图5 冬小麦、夏玉米、水稻3种作物建模叶面积指数的简化相对修正Logistic模型拟合曲线Fig.5 Curves of relative leaf area index of three crops of winter wheat, summer maize and rice fitted by simplified Logistic model (data used in establishing model)

3.2.2利用其他数据进行评估

为了进一步评价单参数Logistic模型的拟合效果，采用表1提供的冬小麦、夏玉米、水稻3种作物生长数据作为验证数据，利用式(14)计算相对叶面积指数，并与实际值进行比较，结果如图6所示。由图6可知，3种作物的5组验证数据同样与1∶1线较为吻合，R2均不小于0.90，相对误差均不大于1.94%，表明实测数据与计算结果之间较为吻合。计算和实测的3种作物相对叶面积指数变化曲线如图7所示。由图7可以看出，简化Logistic模型的计算效果较好，3种作物的拟合曲线决定系数均大于0.90，RMSE均小于0.2000，拟合效果较好。进一步对模型进行标准化残差分析，结果如图8所示。由图8a、8b可以看出，误差服从正态分布，且残差散点图中，残差在-2～2之间随机分布，可解释大部分预测值，残差独立。综上可知，该模型可以用于描述作物相对叶面积指数变化过程。

图8 单参数Logistic模型残差分析结果Fig.8 Residual analysis results of single parameter Logistic model

图7 冬小麦、夏玉米、水稻3种作物验证叶面积指数的简化相对修正Logistic模型拟合曲线Fig.7 Curves of relative leaf area index of three crops of winter wheat, summer maize and rice fitted by simplified Logistic model (verification data)

图6 模型计算结果与验证数据比较Fig.6 Comparisons of model simulated data and verification data

4 讨论

作物叶面积指数在一定程度上可以反映最终产量，叶面积指数过小时，作物可能因营养吸收不良而导致低产，过大则可能说明作物所吸收的营养物质在其器官内分配不合理，也将造成减产，因此对叶面积变化情况的模拟分析对预测作物产量有着重要作用[39]。现有研究对作物叶面积指数的模拟方法主要包括修正Logistic模型、有理方程[40]以及对数模型[13]等，这些方法均能较好地描述叶面积的变化过程，其中修正Logistic模型应用最为广泛。

活动积温是指高于作物生物学下限温度的日均温度之和，包含了低于生物学下限温度的无效积温，相对于活动积温，有效积温更能确切、稳定地反映作物对热量的需求。本研究主要针对修正Logistic模型，以冬小麦、夏玉米和水稻3种作物为研究对象，借助相对有效积温建立了相对化的修正Logistic模型，并对模型中的参数关系进行了分析，同时进一步简化模型，建立了3种作物的单参数修正Logistic模型。模型评价结果显示，该模型对作物相对叶面积指数的计算结果与实际数据之间差异不显著，模拟效果良好。且该简化模型因其参数少，形式简单，较三参数模型更易推广应用。在建立简化修正Logistic模型时，-b=a+c是一项不可或缺的条件，此条件是基于相对化的修正Logistic模型获得的，且此次研究仅包括冬小麦、夏玉米和水稻3种典型作物，对于其他作物，仍需研究其相对化的修正Logistic模型，进而建立对应的简化模型。实际上一些学者研究结果也显示类似结果，如文献[41]利用10组实验数据的平均值建立了叶面积指数与相对生育期之间的修正Logistic模型，模型拟合结果显示，其参数关系也满足-b=a+c，而本次研究中所采用的相对有效积温也可代表作物的相对生育期，因此作物相对生育期与生长指标之间的关系仍需进行深入研究，进而明晰其对应模型参数之间的内在联系，进一步简化修正的Logistic模型。

实际生产中，作物成熟度主要依靠人的经验来判断，因此相较于作物真实停止生长发育的时期，人为判断的收获期可能提前或者推后。本研究利用修正Logistic模型，计算了所收集的各组数据对应的最大有效积温，发现冬小麦的最大有效积温在1 550～1 675℃之间，夏玉米在1 810～2 012℃之间，水稻在1 314～1 460℃之间，不同地区作物生长所需的最大有效积温不同，并且由北向南，作物所需积温呈现出由小变大的趋势。因此初步判定，作物生长所需的有效积温与作物种植地区有关，平均气温较高的地区，作物生长所需的有效积温也相对较高。此后应深入分析不同地区作物生长所需有效积温的空间变异情况，进一步把握不同地区、不同作物的生长态势。

综上，本研究基于修正Logistic模型，建立了冬小麦、夏玉米、水稻3种作物更易于推广和普及的叶面积指数简化模型，减少了模型参数，更易于预测作物产量，提高农业生产效率，对于建立其他作物的叶面积指数简化Logistic模型具有一定的指导和借鉴意义。

5 结论

(1)在相对化修正Logistic模型中，参数b与c之间存在线性关系，随着参数c的增大，b逐渐减小，并且其斜率受作物叶面积指数达到最大值时对应的相对有效积温的影响，不同作物的斜率不同，冬小麦斜率最小，水稻斜率最大。

(2)在相对化修正Logistic模型中，参数a、b、c之间满足-b=a+c的关系，通过3种作物拟合数据进行了验证，结果表明，模型拟合效果较好。

(3)在相对化修正Logistic模型中，参数a与c之间存在正相关关系，随着c的增大，a逐渐增大，其斜率与作物叶面积指数达到最大值的1/2时所对应的相对有效积温有关，3种典型作物中，冬小麦斜率最小，水稻斜率最大。

(4)在相对化修正Logistic模型的基础上，结合各参数之间的关系，建立了冬小麦、夏玉米和水稻3种典型作物相对叶面积指数的单参数Logistic模型。模型评价结果表明，其计算结果与实际相对叶面积指数之间不具有显著性差异，且对相对叶面积指数变化过程拟合效果较好。该模型可以用于描述冬小麦、夏玉米和水稻3种典型作物相对叶面积指数的变化过程。