基于状态空间分类的Multi?h CPM序列检测算法

杨文革 上官泽胤

摘  要： 考虑到Multi?h CPM信号序列检测复杂度较高，难以工程实现，在最大似然序列检测的基础上，针对该算法后端复杂的网格状态，提出基于状态空间分类的Multi?h CPM序列检测算法。通过引入倾斜相位，避免了区分调制指数分子为奇数和偶数的问题，利用状态空间分类合并的方法，大大简化了执行维特比算法所需的网格状态，并引入判决反馈原理，提高了误码性能。最后对ARTM TierⅡ信号进行仿真，结果表明，该算法可将网格状态减少为最大似然序列检测算法网格状态数的[132]，在[10-5]误码率下的性能损失仅为0.6 dB。

关键词： Multi?h CPM; 序列检测; 网格状态简化; 最大似然序列检测; 倾斜相位; 状态空间分类; 判决反馈

中图分类号： TN911.6?34                        文献标识码： A                         文章编号： 1004?373X（2020）05?0001?05

Multi?h CPM sequence detection algorithm based on state?space partitioning

YANG Wenge， SHANGGUAN Zeyin

（Department of Electronic and Optical Engineering， University of Space Engineering， Beijing 101416， China）

Abstract： Since the Multi?h CPM （Continuous Phase Modulation） signal sequence detection is of high complexity， which is difficult to be realized in engineering， a Multi?h CPM sequence detection algorithm based on state?space partitioning （SSP） is proposed on the basis of maximum likelihood sequence detection （MLSD） to deal with the complex grid state at the back end of the algorithm. The tilted phase is introduced to avoid distinguishing odd modulation index molecules from even ones. The grid state required in the implementation of Viterbi algorithm is greatly simplified with the method of SSP and merging， and the decision feedback principle is introduced to reduce the error code. The ARTM TierⅡ signal wassimulated. The results show that the algorithm can reduce the grid state quantity to [132] of that of the MLSD algorithm， and the performance loss at the bit error rate of [10-5] is only 0.6 dB.

Keywords： Multi?h CPM; sequence detection; grid state simplification; MLSD; tilted phase; SSP; decision feedback

0  引  言

连续相位调制（Continuous Phase Modulation，CPM）体制是一类相位连续且包络恒定的调制方案的总称。区别于传统的单调制指数CPM，Multi?h CPM具有多个随时间逐符号循环变化且在每个符号间隔内保持不变的调制指数。多调制指数的循环作用，使得Multi?h CPM信号具有更高的频带利用率和误码性能[1]。2003年，美国军事卫星通信标准MIL?STD?188?181B将Multi?h CPM信号应用到特高频军事通信系统中[2]。随后，Multi?h CPM体制被写入IRIG?106标准中，且其频谱效率大约是传统的PCM/FM体制的3倍[3]。尽管Multi?h CPM体制应用前景广阔，但其解调设备的高复杂度严重限制了其发展应用。因此，Multi?h CPM低复杂度序列检测算法一直是研究的热点。

鉴于Multi?h CPM信号独特的记忆特性，最大似然序列检测算法（Maximum?Likelihood Sequence Detection，MLSD）是Multi?h CPM信号的最优算法，但该算法需要大量匹配滤波器和网格状态。在此基础上，很多学者进行了大量研究来降低其复杂度。文献[4]提出了频率脉冲截断法，将关联长度[L]截断成更小的[L]，明显降低了复杂度。文献[5]提出了正交基分解法，通过降低信号空间维数实现匹配滤波器的减少。文献[6?8]提出将Multi?h CPM视为一组PAM脉冲的加权叠加，然后通过选取部分PAM脉冲来降低序列检测复杂度。但是这些方法主要是对匹配滤波器的数目进行简化，对网格状态简化的效果并不是很理想。针对MLSD算法后端复杂的网格状态，在倾斜相位[9]的基础上，本文提出了基于状态空间分类的Multi?h CPM序列检测算法。

1  Multi?h CPM基本原理

Multi?h CPM信号本质上是一种调频，其数学表达式可以写为：

[s（t）=2ETcos（2πfct+?（t，α）+?0）] （1）

式中：[E]为符号能量;[T]为符号间隔;[fc]为载波频率;[?0]为载波初相;[?（t，α）]为相位函数，其表达式为：

[?（t，α）=2πi=-∞∞hiαiq（t-iT）] （2）

式中：[α=（α0，α1，α2，…，αi，…）]为发送端[M]进制信息符号序列，[αi∈{±1，±3，…，±（M-1）}];[h]为调制指数，[Nh]个调制指数[{h1，h2，…，hNh}]逐符号的循环变化;[q（t）]为相位脉冲函数，其导数为频率脉冲函数[g（t）]，[g（t）]在[0≤t≤LT]内具有平滑的脉冲形状，区间之外的取值为0，参数[L]为关联长度。

信号的相位轨迹[?（t，α）]承载全部信息。在[nT≤t≤（n+1）T]符号间隔内，式（2）可以进一步写为：

[?（t，α）=θn+θ（t，αn）] （3）

其中：

[θn=πi=-∞n-Lhiαi（mod2π）] （4）

[θ（t，αn）=2πi=n-L+1nhiαiq（t-iT）] （5）

式中：[θn]称为相位状态;[（αn-1，αn-2，…，αn-L+1）]是相关状态。为了准确描述信号转移，定义状态向量：

[Sn=[θn，αn-1，αn-2，…，αn-L+1]] （6）

对于调制指数[h=qp]（[h]为有理数，[p]，[q]互质），则当[q]分别为奇数和偶数时，分别有[2pML]和[pML]个相位状态。

鉴于Multi?h CPM信号独特的记忆性，可以采用MLSD算法，通过选择与接收信号[r（t）]的欧氏距离最小的路径作为判决路径，来实现Multi?h CPM信号的最佳检测。

设观测信号为：

[r（t）=s（t，α）+n（t）] （7）

式中：[n（t）]为高斯白噪声;[α]为可能的传输序列。最大似然判决准则等价于相关值最大，即：

[λ（α）=0（n+1）Tr（t）s（t，α）dt] （8）

递归形式为：

[λn（α）=λn-1（α）+Zn（α）] （9）

其中：

[Zn（α）=nT（n+1）Tr（t）s（t，α）dt=nT（n+1）Tr（t）cos[2πfct+θ（t，αn）+θn]dt] （10）

为接收信号与所有[s（t，α）]在第[n]个符号间隔的分支度量。

在执行MLSD时，并不必对所有可能的序列进行相关计算，可以采用维特比算法进行顺序网格搜索，只保留幸存路径，从而大大节约了搜索时间，提高了搜索效率[10]。

2  基于状态空间分类的Multi?h CPM序列检测算法

当采用维特比算法执行网格搜索时，搜索的路径数为网格状态数[s=2pML-1]或[s=pML-1]。在实际应用中，为了追求更高频带利用率，通常会选择多进制，部分响应的Multi?h CPM信号。以ARTM Tier Ⅱ信号为例，网格状态数为512，其计算量是巨大的。下面在倾斜相位的基础上，通过引入状态空间分类算法来简化网格状态，减少搜索的路径，从而降低序列检测的复杂度。

2.1  倾斜相位

定义倾斜相位[ψ（t，α）]的表达式为：

[ψ（t，α）=?（t，α）+πhi（M-1）tT] （11）

式中： [i=imod（Nh）]，[Nh]为调制指数个数。将式（11）代入式（3）中，得：

[ψ（t，α）=πi=0n-Lhiαi+2πi=n-L+1nhiαiq（t-iT）+                 πhi（M-1）tT，          nT≤t<（n+1）T] （12）

引入修正数据序列[Ui∈0，1，2，…，M-1]来代替原符号序列[αi∈{±1，±3，…，±（M-1）}]，二者的关系可以表示为：

[Ui=αi+（M-1）2] （13）

令[t=τ+nT]，可得：

[ψ（τ+nT，U）=2πi=0n-LhiUi+4πi=0L-1hiUn-iq（τ+iT）+W（τ），                           0≤τ

式中[W（τ）]为与码元序列无关的项，可以表示为：

[W（τ）=πhi（M-1）τT-2πhi（M-1）i=0L-1q（τ+iT）+                （L-1）（M-1）πhi，  0≤τ

由式（15）可知，所有与时间相关的项仅仅依赖于时移变量[τ=t-nT]。对独立于时间只依赖于码元序列的项取模[2π]，可得：

[R2π2πhi=0n-LUi=R2π2πqpi=0n-LUi=R2π2πqpRpi=0n-LUi] （16）

式中[q]和[p]互为质数，分别表示调制指数的分子和分母。由式（16）可以看出，独立于时间只依赖于码元序列的项仅有[p]个取值。因此物理倾斜相位[ψ（τ+nT，U）]总是一个时不变网格。

根据式（6），可以定义在第[n]个符号周期的Multi?h CPM信号的倾斜相位表示下的状态向量为：

[σn=[Vn，Un-1，Un-2，…，Un-L+1]] （17）

式中：[Vn=Rpi=-∞n-LUi]和[（Un-1，Un-2，…，Un-L+1）]分别为倾斜相位处理后的相位状态和相关状态，此时的网格状态数为[SML=PML-1]。

由式（13）和式（14）可知，倾斜相位是传统相位的等价变化。因此，在序列检测过程中，利用倾斜相位网格来执行维特比算法的顺序网格搜索，可以在不影响误码性能的同时，避免了区分调制指数为奇数和偶数的问题，简化了解调的复杂度。

2.2  状态空间分类法

为了进一步简化执行维特比算法所需要的网格状态，可以利用状态空间分类的方法，在倾斜相位的基础上，通过映射关系对原始的最大似然（Maximum?Likelihood，ML）网格进行重新分类合并，形成新的简化网格状态（Reduce State，RS），称之为RS网格图。则定义简化后的网格状态为：

[σ′n=Γ（σn）] （18）

式中[Γ]表示某种映射函数，通过[Γ]作用，将状态合理分类。以求模运算作为映射函数，则经过状态空间分类的状态向量可以表示为：

[σ′n=V′n（P，L），RM′1（Un-1），…，RM′L-1（Vn-L+1）] （19）

其中：

[V′n（P，L）=RPi=0n-LUi] （20）

式中：[RM（?）]表示对括号中的量取模[M]运算;对于[1≤i≤L-1]，有[1≤L′i≤L]，[1≤P′i≤P]，[1≤M′i≤M]，且[M′i]只为取2的指数，[L]为截断后的关联长度;[V′n（P，L）]和[（RM′1（Un-1），…，RM′L-1（Un-L+1））]分别为状态空间分类处理后的相位状态和相关状态，数目分别为[i=1L-1M′i]和[P]。则经过状态空间分类处理后的网格状态数为[SRS=Pi=1L-1M′i]。

可以看出，RS网格相当于将ML网格中的[SMLSRS]个状态根据确定的映射函数分类合并成一个RS状态得到的。在传统的ML网格图中，每个状态有[M]条进入分支和离开分支，每条分支对应一个状态转移。然而需要注意的是，在经过状态空间分类处理后的RS网格中，每条RS路径并不仅仅代表了[MSMLSRS]条分支进行状态转移，还衍生出原始ML网格中不存在的路径。

图1给出了[M=2]，[L=3]，[h=12]的CPM信号的ML网格图，图2分别给出了简化相位状态和简化相关状态的两种简化方案。

图2a）中从状态[0，0]到状态[0，0]这条RS分支，不仅代表了ML网格中的[0，0，0]到[0，0，0]和[1，0，0]到[1，0，0]这两条路径，还包含了[0，0，0]到[1，0，0]和[1，0，0]到[0，0，0]这两条衍生路径。RS网格中所隐含的衍生路径在原来的ML网格中并不存在。衍生路径的存在大大增加了计算量，对幸存路径的确定产生很大的影响，使得序列检测的误码率急剧下降。

为了避免衍生路径带来的误码性能损失，在这里引入判决反馈的思想。由于RS网格是对ML网格的简化，与ML网格相比，将RS网格缺失的状态数据记为[σ″n]，称为反馈状态。则RS网格状态与反馈状态组成ML网格状态，记为[σn=（σ′n，σ″n）]。在利用RS网格进行维特比译码时，需要存储每个时刻的幸存路径。由上一时刻幸存路径的状态信息，可以得出当前时刻的反馈状态估计[σ″n]。反馈状态估计[σ″n]对当前RS状态[σ′n]进行修正补充，得到具有完整状态信息的ML状态估计[σn（σ′n）]，可以表示为：

[σn（σ′n）=Rpi=-∞n-LUi，Un-1，Un-2，…，Un-L+1] （21）

式中[Ui]为维特比算法過程中的幸存符号。在[t=][（n+1）T]时刻，当前码元为[U′n]，RS网格的状态转移可以表示为[σ′n：U′n→σ′n+1]，利用RS网格执行维特比算法的分支度量表达式为：

[λi（n）=λi（n-1）+Z（σ′n：U′n→σ′n+1）] （22）

其中：

[Z（σ′n：U′n→σ′n+1）=RenT（n+1）Tr（t）s*（t，V′n，σn（σ′n））dt] （23）

基于状态空间分类的序列检测算法具体步骤概括为：

1） 计算分支度量。在第[nT]时刻，对于RS网格中的任一状态节点，根据到达[nT]时刻幸存路径的ML状态信息[σn-1（σ′n-1）]和当前时刻的RS状态[σ′n]，得到反馈状态估计[σ″n]。当前RS状态[σ′n]与[σ″n]形成具有完整信息的ML状态[σn（σ′n）]，然后利用式（23）计算得到路径的分支度量[Z（σ′n：U′n→σ′n+1）]。

2） 更新路径度量。对于每个节点，利用式（22）将步骤1）得到的分支度量与到达[nT]时刻的幸存路径的度量值[λi（n-1）]相加，得到在[（n+1）T]时刻每个节点的[M]个路径度量值[λi（n）]，[i=1，2，…，M]。

3） 确定幸存路径。在[（n+1）T]时刻，比较到达每个节点的[M]个路径度量值的[λi（n）]的大小，保留路径度量最大值所对应的路径作为幸存路径，同时删除其他[M-1]条路径，存储幸存路径度量值[λi（n）]、所对应的符号数据[Un]以及ML状态信息[σn（σ′n）]。

4） 获得解调数据。对于每个码元，分别执行步骤1）～步骤3），直至序列末尾。选择此时所有的幸存路径中最大度量所对应的路径作为解调路径，对该路径进行回溯译码，获得解调数据。

基于判决反馈的SSP的实质是按照集合划分的思想，将ML网格状态重新分类合并为较小的RS网格状态，然后在RS网格状态中执行维特比序列检测。这大大减少了需要搜索的网格状态数。但是，状态合并将造成最小欧氏距离减小，使得在维特比检测过程中对外界环境干扰更为敏感，导致误码率升高;此外，由于引入判决反馈原理，若某一时刻的硬判决产生错误，则错误判决将被反馈并进入下一次的判决，导致正确的ML路径被舍弃，产生误码，甚至会造成误差连续传播，导致误码率升高。因此，为了减少分类合并造成的误码损失，不应过度盲目地对状态分类。下面对基于状态空间分类的序列检测算法的不同分类方案进行仿真验证。

3  仿真分析

为了验证基于状态空间分类的Multi?h CPM序列检测算法的有效性，以及寻求较为合理的状态合并方案，本文针对ARTM TierⅡ信号（信号参数为：具体参数为进制数[M=4]，即[α={±1，±3}];调制指数[h1=416]，[h2=516]，随时间循环变化;关联长度[L=3];码元信号的波形[g（t）]采用余弦型），采用不同的状态空间分类的方案，得到不同方案下的误码性能。定义三维状态向量[相位状态数，相关状态数，相关状态数]来表示不同的调制方案，当状态向量的某一元素为1时，表示此状态已被忽略。ARTM TierⅡ信号的状态向量可以表示为[[16，4，4]]。下文中误码性能的损失均为在[10-5]误码率下与全状态[[16，4，4]]相比的结果。

图3给出了简化相关状态的[16，4，1]和[16，1，1]两种方案的误码率曲线图。这两种方案分别与脉冲截断法[4]中[L=2]和[L=1]状态网格的处理方式类似。与ML状态[16，4，4]对比可以发现，对于ARTM TierⅡ信号，只合并一个相关状态的[16，4，1]方案的性能损失很小，此时网格状态数为64且仅损失0.1 dB，而合并两个相关状态的[16，1，1]，网格状态虽然降为16但损失了1.9 dB，得不偿失。因此，对于关联长度[L=3]的Tier Ⅱ信号，忽略某一相关状态，对误码性能的影响很小，而再进一步的合并相关状态将会引起较大的性能损失。

图4给出了简化相位状态的[8，4，4]，[4，4，4]和[2，4，4]三种方案，与[16，4，4]对比可以发现，对于相位状态为16的ARTM TierⅡ信号，当相关状态不变，相位状态变为8和4时，性能损失很小，约为0.1 dB。再进一步合并相位状态，性能损失为1.2 dB。因此，状态空间分类法可以很大程度减少状态网格中的相位状态数，并且对误码性能的影响很小。

图5给出了将相位状态和相关状态同时分类合并的[8，4，1]和[4，4，1]两种方案的仿真结果。当网格状态为[8，4，1]时，网格状态数为32，是MLSD算法网格状态数的[116]，误码性能损失仅为0.2 dB;进一步合并的[4，4，1]，所需的网格状态数是MLSD算法的[132]，误码性能损失仍在可以接受的范围内，为0.6 dB。

不同方案的网格状态数和相应的误码率性能损失如表1所示。

比较网格状态数同为32的方案[2，4，4]和方案[8，4，1]，前者比后者有1 dB的性能损失，这是由于方案[2，4，4]中相位状态的过度合并导致的;比较网格状态数同为16的方案[16，1，1]和[4，4，1]，前者比后者有1.3 dB的性能损失，这是因为方案[16，1，1]中的相关状态被完全舍弃。因此，将相位状态和相关状态适度合理的分类合并，可以在较小的误码损失下，大大地简化网格状态;而将相位状态或者相关状态其中之一过度合并，都会严重影响误码性能，得不偿失。

4  结  语

本文在倾斜相位的基础上，提出了基于状态空间分类的序列检测算法，并以ARTM TierⅡ信号为例进行仿真，研究了不同分类方案的误码性能。结果表明，通过将相位状态和相关状态适度合理的分类合并，可以在很小的误码性能损失下，大大地简化网格状态，从而降低复杂度;而盲目的过度合并将会造成误码性能的严重损失，无法实际应用。

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