关于非齐次线性方程组的几种解法

李华灿 李群芳 李师煜

摘 要 非齐次线性方程组是线性代数的核心知识点。文中从一道非齐次線性方程组的求解出发，从克莱姆法则、逆矩阵以及初等行变换等三个方面浅谈非齐次线性方程组的三种不同解法。

关键词 非齐次线性方程组 克莱姆法则 初等行变换 逆矩阵

中图分类号：O151.21文献标识码：A

0引言

线性方程组的求解问题是线性代数课程的核心问题，包含齐次线性方程组和非齐次线性方程组。由于非齐次线性方程组的非齐次项不全为零，故非齐次非线性方程组的求解相对较复杂，故文中选择下面的非齐次线性方程组为例。

例1：求解下面非齐次线性方程组。

记方程组（1）的系数矩阵为，，则方程组（1）等价于下列矩阵方程

1利用克莱姆法则解非齐次线性方程组（1）

克莱姆法则是求解非线性方程组的一种重要方法，关于其在方程组求解中的应用可参见文献[3-5]。下面首先给出克莱姆法则：

引理1（克莱姆法则） 若n元非齐次线性方程组的系数行列式，则方程组的解唯一，且有

其中为方程组的系数矩阵，是用非齐次线性方程组的常数项替代的第得到的一个新的矩阵。

例1的解法一：

经计算可得

故由引理1可知，方程组（1）的解唯一，且经计算可知，，

故由克莱姆法则可得非齐次线性方程组（1）的解为

2利用逆矩阵求解

引理2 若n元非齐次线性方程组的系数行列式，则方程组的解唯一，且有.

例1的解法二：

由于方程组（1）的系数行列式，故可逆，且有

3利用初等行变换求解线性方程组

初等行变换是线性代数解决所有问题的重要技巧。在求解线性方程组中利用初等行变换的解题步骤为：把方程组中的系数和常数项按照它在方程组中的次序构成增广矩阵B，然后对增广矩阵B施行一系列初等行变换变为行最简形，从而得到原方程组的同解方程组的最简单的形式，进而得到方程组的解;进一步地，若方程组的系数矩阵A（下转第195页）（上接第193页）为可逆矩阵，则可以由增广矩阵的最简形矩阵可直接写出原方程组的解。

例1的解法三：

对方程组的增广矩阵B作如下的一系列初等行变换，得

把上行最简形矩阵反映到方程组，得非齐次线性方程组（1）的解为

基金项目：江西理工大学本科教学工程项目（XZG-16-01-05）。

参考文献

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