导数与方程、不等式

一、填空题

3.（2019年南昌二中期中卷）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈[-2，2]）表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：

①f（x）的解析式为f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]；

②f（x）的极值点有且仅有一个；

③f（x）的最大值与最小值之和等于零.

其中正确命题的序号为________.

4.已知函数f（x）=x3+3xf′（1），则方程f′（x）=0的根是________.

5.已知函数f（x）=x2-（2a-1）x+a2-2与直线y=0（x≥0）至少有一个交点，则a的取值范围为________.

7.已知函数f（x）=x（x-a）2，g（x）=-x2+（a-1）x+a（a∈R，a＞0），若存在，使得f（x0）＞g（x0）成立，则a的取值范围是____________.

8.已知函数f（x）=mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是____________.

9.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x））+1有4个零点，则k的取值范围是______________.

10.（2019年广州市期中卷）已知函数，若对任意的x1∈[-1，2]，存在x2∈[2，4]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为________.

二、解答题

11.（2018年全国Ⅰ卷）已知函数f（x）=aex-lnx-1.

（1）设x=2是f（x）的极值点.求a，并求f（x）的单调区间；

12.已知函数f（x）=ln（x+1）-mx.

（1）求函数f（x）的极值；

（2）若函数f（x）在区间[0，e2-1]上恰有两个零点，求m的取值范围.

13.已知函数f（x）=lnx，（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）.

（1）求F（x）的单调区间；

（2）若以F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的最小值；

（3）是否存在实数m，使得函数y=的图象与函数y=f（1+x2）的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.

参考数据：ln2=0.69.

14.（2019年全国Ⅰ卷）已知函数f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数.证明：

（1）f′（x）在区间上存在唯一极大值点；

（2）f（x）有且仅有2个零点.