高三数学复习选题的误区及对策

邵思青

[摘  要] 教学中的选题存在以下误区：选题过于简单，不注重变化;或者选题难度偏大，不注重效率;抑或者选题过于注重技巧，不注重通性通法，等等. 选题时应该要注重以小搏大，见微知著;选题要注重题组引领，巩固“四基”;选题要注重变式探究，发散思维.

[关键词] 选题;误区;对策

选题是高三数学复习中每一位数学教师都要做的一件事. 可以说高三数学复习的成功与否就在于教师的题选的好不好. 课堂例题选的好就能够帮助学生掌握知识点形成数学思维，作业和考试的题选的好就能够帮助学生运用数学知识进行思考和表述. 有一些高三教师在复习过程中选题不够经典或不具备代表性，学生做题时所获得的感悟与体验不够深刻也就难以促进自身数学核心素养的发展了.

当前高三数学复习教学中选题的误区

1. 选题过于简单，不注重变化

有些教师高三复习备课选题时对学情不是太了解，有的可能考虑到高考试卷中也有基础题，因此选的题目过于简单，教师讲的学生都会，学生不感兴趣;还有的教师选的题过于单一，不能很好地变式拓展，教师沦落为就题讲题，学生沦落为就题做题，选题的效果没有做到最大化.

2. 选题难度偏大，不注重效率

有些教师在高三复习备课选题时过于注重综合性，选题直接选压轴题，学生往往只能做第一问，课堂上经常沦为教师的独角戏. 即使教师思路讲解得很清晰，但学生仍然是上课听得懂，课后自己不会做. 长此以往，教师一道题即使讲了多遍，学生仍然不会做，课堂效率低下.

3. 选题过于注重技巧，不注重通性通法

有些教师在高三复习备课选题时认识不清技巧与数学思想方法的区别，不注重大巧若拙的通性通法，受技巧之“巧”的诱惑，把学生的注意力引到“题型+技巧”上. 久而久之，使学生忘了解题的根本，没有学会最基本的数学思考方法，因而在高考的“竞技场”上败下阵来. 可以说这就是教师选题失败导致的.

高三数学复习选题的对策

1. 选题要注重以小搏大，见微知著

高三数学复习的时间紧，强度大，因此教师在备课选题时应该要把握好度，要根据考情和学情，从数学知识点的基本原理和背景这种“小处”作为切入点，通过归类整合、精选例题，使知识运用提档升级，螺旋上升，达到突出重点、突破难点、纠正疑点这种“大”的目的.

案例1：用导数研究切线问题.

导数的几何意义是高考的一个重要的考点，笔者在高三复习时从四个角度的小处入手，通过精心选题，剖析知识点，从而达到复习知识，提升数学素养的目的.

（1）求在曲线上一点处的切线方程.

例1：曲线y=x3上在点（-1，-1）的切线方程为__________.

变式：已知函数y=f（x）的图像在点M（1，f（1））处的切线方程是x-2y+6=0，那么f（1）+f′（1）=__________.

点评：明确这点是切点之后，按照求切线方程的基本步骤完成即可.

（2）求过某一点与曲线相切的切线方程.

例2：若过点（0，0）的直线l与曲线y=x3-3x2+2x相切，则直线l的方程为______.

点评：求过点（a，b）且与曲线y=f（x）相切的切线方程的解题步骤：

①先设切点（x0，y0），导函数的值为切线的斜率，所以得到切线方程为y-b=f′（x0）（x-a）.

②再由切点既在曲线上又在切线上得到方程组y0=f（x0），y0-b=f′（x0）（x0-a），可得x0的值，再带回方程组，即得所求的切线方程.

变式：若直线y=x+b是曲线y=lnx （x>0）的一条切线，则实数b的值为_______.

点评：本题虽然没有给出过那个点，但做法和例2还是一样，本质上也是相同的.

（3）求曲线上任一点处的切线倾斜角（或斜率）的取值范围.

例3：设点P是曲线y=x3-x+上任意一点，则曲线在点P的切线的倾斜角α的取值范围为_______.

点评：这类问题本质还是求导函数的值域，本题求出切线斜率的范围之后再结合斜率图像求出倾斜角的范围.

变式：已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_______.

点评：本题是将导数的几何意义与基本不等式的应用结合起来考查比例3具有更大的综合性.

（4）求过一点与曲线相切的直线的条数.

点评：直线与曲线相切，不同的切点对应着不同的切线，因此判断切线的条数，也就是判断切点的个数，即判断关于x0的方程的根的个数.

变式：求过点A（2，8），且与曲线f（x）=x3相切的切线条数.

2. 选题要注重题组引领，巩固“四基”

题组复习是高三复习常用的手段，教师在备课时应认真仔细地选题，精心设计题组，关注是否将数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本方法融入题组之中，是否能通过题组引领学生巩固“四基”.

案例2：基本不等式的应用.

思路2：利用函数. 利用配湊或换元构造出函数y=t+，再由对勾函数的单调性求出最小值.

思路3：利用导数. 设f（x）=x+，f′（x）=1-=，易知f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以当x=0时，f（x）取得最小值1.

点评：思路2和思路3抓住了问题的本质，基本不等式的应用是有其局限性的，若将条件x>-1去掉，基本不等式就不能用了. 通过三种思路的比较，可以让学生摸索出它们之间的联系以及使用条件，渗透数学基本思想，培养学生应用基本不等式解决问题的工具意识和定位意识.

点评：例6、例7两题都可以用函数法和导数法来解决，选取的目的就是强化例5中涉及的思路和方法.

3. 选题要注重变式探究，发散思维

变式教学是高三数学复习的重要特征之一，教师在备课选题时一定要注重变式的研究，对学生而言，其大大提高了学生对数学知识的理解力，有助于发散学生的思维;对教师而言，其大大加快了教师自身专业化命题的素养.

怎样进行变式教学呢？笔者认为，要从一个熟悉的基本问题着手，不断改变题设中某些关键条件或结论，将相近的问题串起来，给学生形成强烈的认知冲突，强化基础知识，提升思維能力.

案例3：双变量的最值问题.

例8：已知正数a，b满足a+2b=1，求+的最小值.

思路1：导数法. 由题知a=1-2b，消元，所以+=+，求导易得最小值.

思路2：基本不等式法. 分别对条件和结论运用基本不等式，即a+2b≥2，得到≤，再由+≥2≥4，这是一种常见的错误，主要是基本不等式运用中等号成立的条件没有关注. 正确的解法是利用“1”的代换法，构造出基本不等式运用的结构，只用一次就能解决问题，即

点评：思路1虽然比较烦琐，但却是双变量最值问题处理的基本方法. 思路2虽然简洁，但它属于技巧，是要通过训练才能掌握的，而且要是掌握不牢，有时条件发生变化后，学生又做不出来，不像思路1属于通解通法.

为了使学生能对双变量最值问题能有更深层次的认知，笔者精心选题，进行变式教学，引领学生进行探究总结，让学生把握这一类问题的特征，发散思维，提升思维能力.

变式1：已知正数a，b满足a+b=1，求+的最小值.

变式2：已知正数a，b满足a+b=2，求+的最小值.

变式3：已知正数a，b满足a+b=2，求+的最小值.

变式4：已知正数a，b满足+=1，求a+2b的最小值.

变式5：已知正数a，b满足a+b=2，求+的最小值.

以上变式对例题的条件或结论进行改变，目的就是让学生去体会这一类问题的处理办法，真正实现“解一题，通一类，会一片”的飞跃.

综上所述，高三数学复习选题时教师一定要从考情、学情出发，从知识的本质出发，利用题组，利用变式，层层递进，在打牢学生的基础上进一步训练学生的思维，提升学生的数学学科素养，同时也能提高自身的业务素质.