向心力解释自行车不倒的原因1)

周克民

(华侨大学土木工程学院，厦门361021)

题目

匀速直线骑行自行车，当自行车侧向倾斜时，分析人和车从倾斜状态恢复竖直状态的动力学过程及其恢复过程主要受哪些因素影响。这个问题更通俗的说法就是“骑行的自行车为什么可以不倒？”

解答

自行车曾经作为我们的主要交通工具，我们大家基本都会骑行。但是，许多人对自行车的一些基本原理却不十分清楚，感觉不好理解。经过一百多年的研究，许多学者从不同角度研究了各种因素的影响，其基本原理已经有了许多解释，读者可以详见刘延柱的论文[1]。刘延柱从动力学角度给出了基本动力学方程. 黄绍书将问题简化为定点运动[2]。但要读懂这些推导过程需要一定的力学基础。本文以较通俗的形式解释了其基本原理。希望有大学物理学基础的大学生也能够读懂。

首先给出最通俗的解释。当你被别人在背后猛推一下，你可能会摔倒；如果你的脚快速向前走几步就不会摔到了。这是因为，身体被外力向前推动的时候，如果脚也跟着同步向前移动，身体形成平动而不是转动就不会摔倒。自行车侧向倾斜时，只要车轮也同时同向移动就不会翻倒。许多人会认为车轮只能向前运动，不能横向移动，所以大家感觉车会侧向翻倒。实际上，车轮在不滑动的情况下也可以侧向移动。只要车在向前行驶时，车轮偏转一些，车轮就可以不仅向前运动，同时也侧向(相对原来的运动方向) 移动。由于车身整体都侧向移动，而不是转动当然就不会翻到了。许多初学者学习了理论力学或大学物理课程后，认为车侧向倾斜后重力与支撑力不在同一直线上，有了转动趋势，应该侧向翻倒。他们其实是把系统理解为定轴(点) 运动了，这就错了。实际上，由于车轮与地面的接触点是可以移动的，如果其侧向移动速度足够快，系统甚至可以反向倾倒。有些人骑自行车时总觉得不平衡。其实，这本来就不是一个静力学问题，就是不平衡。这是由于大家直接用静力学的概念来解释这个动力学现象了，所以就无法理解了。

下面给出一个略严格的理论推导。取坐标系：骑行方向为x轴，侧向为y轴，竖直方向为z轴。为了便于理解，本文略去次要因素，将问题简化，做如下一些假设：

(1) 在运动分析中，车与骑行人为一个刚体称为系统；

(2) 系统质心在骑行方向的速度大小不变；

(3) 系统倾角很小，所以忽略系统重心高度变化。

这些假设一般对分析结果影响不大，但是可以显著简化推导过程和结论。根据假设(3)，质心在同一个水平面内运动；根据假设(2)，我们可以只在yoz平面内进行系统动力分析。系统受力分析如图1 所示，A点为车轮与地面的接触点，o为系统的重心，重心的高度为H，自行车倾角为φ。

图1 受力分析(前视图)

Ff为摩擦力，FN为支撑力，v为质心速度，m为系统质量，系统绕过质心的x轴回转半径为ρ，系统质心运动的曲率半径为R（如图2所示）。对系统建立质心运动方程和动量矩方程如下

图2 运动几何关系(俯视图)

图1 中的FI就是向心力，用虚线表示，它并没有直接反映在上述平衡方程中。因为它是虚拟的力，并不真实存在，只是为了能够用静力学直观理解曲线运动的动力学现象而虚拟的力。可以解得

显然，就反映了系统恢复竖直位置的加速度。车行驶速度v越大，系统恢复竖直位置越快，反之则慢。当速度为零时

不能恢复竖直位置。就是说，车只有行进中才能恢复竖直位置。能够恢复竖直位置的条件是

由此解得

式(5)还可以进一步简化。如图2所示，假设车把转过的角度为θ(近似表示车轮绕z轴的方向转角)，前后两个车轮轴距为s。用这个距离近似表示质心圆周运动时的弧长。根据几何关系近似有

所以，式(5)成为

这就是说，车速v越快，车把需要转过的角度θ越小，这样行驶的轨迹就越直。反之则需要“蛇”形行进才能维持不倒。另外，车的倾斜角度φ越大，车回到竖直位置需要的车速v和转角θ就越大。

式(4)可以更直观地用离心力解释。图1中的虚线为离心力FI=mv2/R，就是恢复力。重力mg是倾倒力。由于离心力不是实际存在的力，图中用虚线表示，在前面的受力分析中没有计入。引入离心力的概念后，系统就可以做为静平衡问题处理了。这时，可以直观地理解为离心力和重力的力矩平衡，所以就不倾倒了。

还有些学生可能不理解产生水平摩擦力Ff的原因。如果没有水平摩擦力，按照质心运动定律，质心应该沿竖直方向下降。这时车轮与地面的接触点就只能水平方向移动。这个车轮与地面的相对运动趋势就会产生摩擦力。

下面简单分析一下本文简化的合理性。自行车轮半径按照0.33 m 计算，在直线行驶时轨迹半径很容易达到这个半径的20倍。所以车轮绕转轴的动量矩相对于另两个正交轴的动量矩小很多，所以陀螺效应是次要因素。

为了避免侧向滑到，车把转角也不能太大，应满足式(8)。式(7)和式(8)结合得到

式(9)表示倾斜角不应超过摩擦角，否则就会滑倒。式(9)的直观解释就是车的全支反力要通过质心。

本文用较简单的方法分析了行进中的自行车在倾倒时恢复竖直位置过程中的动力学原理。略去了一些次要因素。作为科学研究还应该做更精确的定量计算，并结合试验分析。